題目

題目連結：https://codeforces.com/contest/1039/problem/D
有一棵 \(n\) 個節點的樹。其中一個簡單路徑的集合被稱為 \(k\) 合法當且僅當樹的每個節點至多屬於其中一條路徑，且每條路徑恰好包含 \(k\) 個點。
對於 \(k\in [1,n]\)，求出 \(k\) 合法路徑集合的最多路徑數。
即：設 \(k\) 合法路徑集合為 \(S\)，求最大的 \(|S|\)。
\(n \leq 10^5\)。

思路

考慮當 \(k\) 固定的時候怎麼搞。設 \(f[x]\) 表示 \(x\) 子樹內到 \(x\) 沒有點用過的一條路徑最長的長度。合併兩棵子樹時，如果 \(f[x]+f[y]+1\geq k\)

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010,M=1300,Inf=1e9;
int n,tot,head[N],dfn[N],fa[N],f[N];

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to};
	head[from]=tot;
}

void dfs(int x,int fat)
{
	dfn[++tot]=x; fa[x]=fat;
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fat) dfs(v,x);
	}
}

int solve(int k)
{
	int ans=0;
	for (int j=n;j>=1;j--)
	{
		int x=dfn[j]; f[x]=0;
		for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			if (v!=fa[x])
			{
				if (f[v]+f[x]+1>=k) ans++,f[x]=-Inf;
				if (f[x]!=-Inf) f[x]=max(f[x],f[v]);
			}
		}
		f[x]++;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1,x,y;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	tot=0; dfs(1,0);
	cout<<n<<"\n";
	for (int i=2;i<=min(n,M);i++)
		cout<<solve(i)<<"\n";
	for (int i=M+1;i<=n;)
	{
		int l=i,r=n,mid,res=solve(i);		
		while (l<=r)
		{
			mid=(l+r)>>1;
			if (solve(mid)==res) l=mid+1;
				else r=mid-1;
		}
		for (;i<l;i++) cout<<res<<"\n";
	}
	return 0;
}