1. 遞迴Recursion

1.1 概念

生活中就有很多用到遞迴的例子。

週末帶著女朋友去電影院看電影，女朋友問，咱們現在坐在第幾排啊？電影院裡面太黑了，看不清

於是你就問前面一排的人他是第幾排，你想只要在他的數字上加一，就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也不知道，所以他也問他前面的人。就這樣一排一排往前問，直到問到第一排的人，說我在第一排，然後再這樣一排一排再把數字傳回來。直到你前面的人告訴你他在哪一排，於是你就知道答案了。

這就是一個非常標準的遞迴求解問題的分解過程，去的過程叫“遞”，回來的過程叫“歸”。

基本上，所有的遞迴問題都可以用遞推公式

f(n)=f(n-1)+1 其中，f(1)=1
f(n) 表示你想知道自己在哪一排，f(n-1) 表示前面一排所在的排數，f(1)=1 表示第一排的人知道自己在第一排。有了這個遞推公式，我們就可以很輕鬆地將它改為遞迴程式碼，如下：
int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

Recursion

遞迴 — 迴圈通過函式體來進行的迴圈（函式自己調自己）

遞迴
1. 從前有個山，
2. 山裡有個廟，
3. 廟裡有個和尚講故事：--> 1

遞迴類似盜夢空間中不斷的層層遞進再層層回來的這種結構；

　　①向下進入到不同夢境中；向上又回到原來一層；（一層層的上，一層層的回來，對稱性）

　　②通過聲音同步回到上一層；（同步的關係即用引數來進行，函式不同層之間的傳遞變數）

　　③每一層的環境和周圍的人都是一份拷貝，主角等幾個人穿越不同層級的夢境（發生和攜帶變化）

1.2 遞迴需要滿足的三個條件

剛剛這個例子是非常典型的遞迴，那究竟什麼樣的問題可以用遞迴來解決呢？只要同時滿足以下三個條件，就可以用遞迴來解決。

1. 一個問題的解可以分解為幾個子問題的解

何為子問題？子問題就是資料規模更小的問題。比如，前面講的電影院的例子，你要知道，“自己在哪一排”的問題，可以分解為“前一排的人在哪一排”這樣一個子問題。

2. 這個問題與分解之後的子問題，除了資料規模不同，求解思路完全一樣

你求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一樣的。

3. 存在遞迴終止條件

把問題分解為子問題，把子問題再分解為子子問題，一層一層分解下去，不能存在無限迴圈，這就需要有終止條件。第一排的人不需要再繼續詢問任何人，就知道自己在哪一排，也就是 f(1)=1，這就是遞迴的終止條件。

1.3 遞迴程式碼

寫遞迴程式碼最關鍵的是寫出遞推公式，找到終止條件，剩下將遞推公式轉化為程式碼就很簡單了。

寫遞迴程式碼的關鍵就是找到如何將大問題分解為小問題的規律，並且基於此寫出遞推公式，然後再推敲終止條件，最後將遞推公式和終止條件翻譯成程式碼。

人腦幾乎沒辦法把整個“遞”和“歸”的過程一步一步都想清楚。計算機擅長做重複的事情，所以遞迴正和它的胃口。而我們人腦更喜歡平鋪直敘的思維方式。當我們看到遞迴時，我們總想把遞迴平鋪展開，腦子裡就會迴圈，一層一層往下調，然後再一層一層返回，試圖想搞清楚計算機每一步都是怎麼執行的，這樣就很容易被繞進去。

如果一個問題 A 可以分解為若干子問題 B、C、D，你可以假設子問題 B、C、D 已經解決，在此基礎上思考如何解決問題 A。而且，你只需要思考問題 A 與子問題 B、C、D 兩層之間的關係即可，不需要一層一層往下思考子問題與子子問題，子子問題與子子子問題之間的關係。遮蔽掉遞迴細節，這樣子理解起來就簡單多了。

因此，編寫遞迴程式碼的關鍵是，只要遇到遞迴，我們就把它抽象成一個遞推公式，不用想一層層的呼叫關係，不要試圖用人腦去分解遞迴的每個步驟。

遞迴模板程式碼：

public void recur(int level, int param) {
        //1. terminator 遞迴終結條件
　　if (level > Max_LEVEL) {
       //process result
　　　 return;
   }
       //2. process current logic 處理當前邏輯
　　process(level, param);
       //3. drill down  下探到下一層
　　recur(level: level + 1, newParam);
       //4. restore current level status if needed 清理當前層
}

1.4遞迴的問題

1.4.1 遞迴程式碼要警惕堆疊溢位

堆疊溢位會造成系統性崩潰。為什麼遞迴程式碼容易造成堆疊溢位呢？該如何預防堆疊溢位呢？

在使用“棧”時，函式呼叫會使用棧來儲存臨時變數。每呼叫一個函式，都會將臨時變數封裝為棧幀壓入記憶體棧，等函式執行完成返回時，才出棧。系統棧或者虛擬機器棧空間一般都不大。如果遞迴求解的資料規模很大，呼叫層次很深，一直壓入棧，就會有堆疊溢位的風險。

比如電影院的例子，如果我們將系統棧或者 JVM 堆疊大小設定為 1KB，在求解 f(19999) 時便會出現如下堆疊報錯：

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError

那麼，如何避免出現堆疊溢位呢？

可以通過在程式碼中限制遞迴呼叫的最大深度的方式來解決這個問題。遞迴呼叫超過一定深度（比如 1000）之後，我們就不繼續往下再遞迴了，直接返回報錯。

還是電影院那個例子，我們可以改造成下面這樣子，就可以避免堆疊溢位了。下邊是虛擬碼：

// 全域性變數，表示遞迴的深度。
int depth = 0;
int f(int n) {
    ++depth；
    if (depth > 1000) throw exception;
    if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

1.4.2 遞迴程式碼要警惕重複計算

從圖中，我們可以直觀地看到，想要計算 f(5)，需要先計算 f(4) 和 f(3)，而計算 f(4) 還需要計算 f(3)，因此，f(3) 就被計算了很多次，這就是重複計算問題。

為了避免重複計算，我們可以通過一個數據結構（比如散列表）來儲存已經求解過的 f(k)。當遞迴呼叫到 f(k) 時，先看下是否已經求解過了。如果是，則直接從散列表中取值返回，不需要重複計算，這樣就能避免重複計算的問題了。

public int f(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;
// hasSolvedList 可以理解成一個 Map，key 是 n，value 是 f(n)
    if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSolvedList.get(n);
  }
    int ret = f(n-1) + f(n-2);
    hasSolvedList.put(n, ret);
    return ret;
} 

除了堆疊溢位、重複計算這兩個常見的問題。遞迴程式碼還有如 函式呼叫耗時多、空間複雜度高等問題。

在時間效率上，遞迴程式碼裡多了很多函式呼叫，當這些函式呼叫的數量較大時，就會積聚成一個可觀的時間成本。在空間複雜度上，因為遞迴呼叫一次就會在記憶體棧中儲存一次現場資料，所以在分析遞迴程式碼空間複雜度時，需要額外考慮這部分的開銷，比如我們前面講到的電影院遞迴程式碼，空間複雜度並不是 O(1)，而是 O(n)。

1.5 遞迴程式碼改寫為迭代迴圈

遞迴有利有弊，利是遞迴程式碼的表達力很強，寫起來非常簡潔；而弊就是空間複雜度高、有堆疊溢位的風險、存在重複計算、過多的函式呼叫會耗時較多等問題。所以，在開發過程中，我們要根據實際情況來選擇是否需要用遞迴的方式來實現。

那我們是否可以把遞迴程式碼改寫為非遞迴程式碼呢？比如剛才那個電影院的例子，我們拋開場景，只看 f(x) =f(x-1)+1 這個遞推公式。

int f(int n) {
    int ret = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
      ret = ret + 1;
  }
    return ret;
}

int f(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;
    int ret = 0;
    int pre = 2;
    int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
    }
    return ret;
}

所有的遞迴程式碼是否都可以改為這種迭代迴圈的非遞迴寫法呢？籠統地講，是的。遞迴本身就是藉助棧來實現的，只不過我們使用的棧是系統或者虛擬機器本身提供的，我們沒有感知罷了。如果我們自己在記憶體堆上實現棧，手動模擬入棧、出棧過程，這樣任何遞迴程式碼都可以改寫成看上去不是遞迴程式碼的樣子。

但是這種思路實際上是將遞迴改為了“手動”遞迴，本質並沒有變，而且也並沒有解決前面講到的某些問題，徒增了實現的複雜度。

遞迴的應用

推薦註冊返佣金的這個功能，

使用者 A 推薦使用者 B 來註冊，使用者 B 又推薦了使用者 C 來註冊。A -> B -> C ，使用者 C 的“最終推薦人”為使用者 A，使用者 B 的“最終推薦人”也為使用者 A，而使用者 A 沒有“最終推薦人”。

一般來說，我們會通過資料庫來記錄這種推薦關係。在資料庫表中，我們可以記錄兩行資料，其中 actor_id 表示使用者 id，referrer_id 表示推薦人 id。

給定一個使用者 ID，如何查詢這個使用者的“最終推薦人”？

long findRootReferrerId(long actorId) {
    Long referrerId = select referrer_id from [table] where actor_id = actorId;
    if (referrerId == null) return actorId;
    return findRootReferrerId(referrerId);
}

遞迴棧

計算 n!
n! = 1 * 2 * 3 * … * n

斐波拉契數列

Fibonacci array: 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, …
F(n) = F(n-1) + F(n-2)