LGV引理學習筆記
阿新 • • 發佈:2021-07-28
一個神奇的東西。今年NOI考了,算是填個坑吧。話說去年徐神在林蔭集訓的時候考場上自己把這東西推了出來(sto 徐神 orz)
僅僅適用於有向無環圖。
令 \(\omega(P)\) 表示路徑 \(P\) 上的邊權積,\(e(u,v)\) 表示 \(u\) 到 \(v\) 的所有路徑額的 \(\omega\) 值之和,即 \(\sum \omega(P:u\rightarrow v)\)。有兩個大小為 \(n\) 的集合, 分別為起點集合 \(A\) 和 終點集合 \(B\), 令矩陣 \(M\) 為:
\[M=\left(\begin{matrix}e(A_1,B_1)&e(A_1,B_2)&...&e(A_1,B_n)\\. & &&.\\.&&&.\\.&&&.\\e(A_n,B_1)&e(A_n,B_2)&...&e(A_n,B_n)\end{matrix}\right) \]再令 \(S:A\rightarrow B\)
證明?OI無證明 大概是寫出行列式的的表示式然後推到,最後構造一個雙射證上面那個式子裡的 \(S\)
洛谷版題:
網格上路徑單調,只有 \(\sigma = \{1,2,3,...,n\}\) 一種情況才能相交。我們設所有邊權為 \(1\), \(e(a_i,b_j)\) 就是個組合數學問題,在 \(b_j-a_i+n-1\) 步裡選 \(n-1\)步橫著走。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; const int N = 105, mod = 998244353; int f[N][N], m, n; inline int power(int a, int b) { int k = b, y = a, t = 1; while (k) { if (k & 1) t = (1ll * t * y) % mod; y = (1ll * y * y) % mod; k >>= 1; } return t; } inline int det() { int ans = 1, sg = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = i + 1; j <= n; ++j) { while (f[j][i]) { const int tmp = (1ll * f[i][i] * power(f[j][i], mod - 2)) % mod; for (int k = i; k <= n; ++k) f[i][k] = (1ll * f[i][k] - 1ll * tmp * f[j][k]) % mod + mod % mod; swap(f[i], f[j]); sg = -sg; } } if (!f[i][i]) return 0; ans = (1ll * ans * f[i][i]) % mod; } return (ans * sg + mod) % mod; } int fac[2000005], invfac[2000005], a[N], b[N]; inline int C(int n, int m) { if (n < m) return 0; return ((1ll * (1ll * fac[n] * invfac[m]) % mod) * invfac[n - m]) % mod; } int main() { fac[0] = 1; for (int i = 1; i <= 2000000; ++i) fac[i] = (1ll * i * fac[i - 1]) % mod; invfac[2000000] = power(fac[2000000], mod - 2); for (int i = 1999999; ~i; --i) invfac[i] = (1ll * (i + 1) * invfac[i + 1]) % mod; int T; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%d%d", &m, &n); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &a[i], &b[i]); memset(f, 0, sizeof f); for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) f[i][j] = C(m - 1 + b[j] - a[i], m - 1); printf("%d\n", det()); } return 0; }