https://vjudge.net/problem/UVA-10294

題意：

用n顆k種顏色的珠子，分別能構成多少種項鍊和手鐲

項鍊：旋轉看作相同

手鐲：旋轉和翻轉看作相同

利用Polya定理求等價類個數

旋轉：

設旋轉i顆珠子的間距（0<=i<n），那麼（0 ，i，2i……）構成一個迴圈。這個迴圈的長度是n/gcd(i,n)。

證明：

設x經過最少p次旋轉之後回到原處

即x+p*i = x (mod n)

p*i = 0 (mod n)

即 n | p*i

又因為 i | p*i，且要p最小

所以 p*i = lcm(n,i)

即 p*i=n*i/gcd(n,i) ，即p=n/gcd(n,i)

又因為每個迴圈長度一樣，所以 迴圈個數有gcd(n,i)個。

由Polya定理可得，不動點個數有 ∑ k^(gcd(n,i)) i∈[0,n-1]

翻轉：

要按n分奇偶討論

n是奇數：

一共有n條對稱軸，每條對稱軸形成(n-1)/2個長為2的迴圈和1個長為1的迴圈，即一共(n+1)/2個迴圈

不動點個數有 n*k^((n+1)/2)

n是偶數：

有n/2條沿珠子的對稱軸和n/2條在兩顆珠子之間的對稱軸

第一種對稱軸形成n/2-1個長為2的迴圈和2個長為1的迴圈，共n/2+1個

第二種對稱軸形成n/2個長為2的迴圈

不動點個數一共有 n/2 * ( k^(n/2+1) + k^(n/2) )

所以項鍊有∑ k^(gcd(n,i)) / n 個

手鐲有[ ∑ k^(gcd(n,i)) +n*k^((n+1)/2) ] / 2n 或者[ ∑ k^(gcd(n,i)) +n/2 * ( k^(n/2+1) + k^(n/2) ) ] / 2n 個

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long pw[52];

int main()
{
    int n,k;
    long long s1,s2;
    while(~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        pw[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i) pw[i]=pw[i-1
 
]*k;
        s1=0;
        for(int i=0;i<n;++i) s1+=pw[__gcd(n,i)];
        printf("%lld ",s1/n);
        if(n&1) s2=n*pw[n+1>>1];
        else s2=n/2*(pw[n/2+1]+pw[n/2]);
        printf("%lld\n",(s1+s2)/2/n);
    }    
}