Atcoder Regular Contest 058 D - 文字列大好きいろはちゃん / Iroha Loves Strings（單調棧+Z 函式）
神仙題。
mol 一發現場（bushi）獨立切掉此題的 ycx %%%%%%%
首先咱們可以想到一個非常 naive 的 DP，\(dp_{i,j}\) 表示在前 \(i\) 個字串拼出的長度為 \(j\) 的字串中，字典序的最小的串是什麼，那麼顯然 \(dp_{i,j}\) 的轉移就在 \(dp_{i-1,j-|s_i|}+s_i\) 和 \(dp_{i-1,j}\) 中比個大小即可，但是由於字串字典序比大小，以及儲存字串均可達到線性複雜度，因此該做法時空複雜度均為 \(nk^2\)，一臉過不去的亞子。
不過注意到本題的一個性質，就是本題的 \(dp\)
- \(dp_{i-1,j-|s_i|}+s_i\)，此時我們可以檢驗 \(dp_{i-1,j-|s_i|}\) 是否是有用的決策點，如果是那麼我們就用 \(fs_{i-1}\) 長度為 \(j-|s_i|\) 的字首與 \(s_i\) 拼接得到的字串去更新 \(dp_{i,j}\)
- \(dp_{i-1,j}\)，類似於上面的情況。
那麼怎麼判斷一個字串是否是有用的決策點呢？我們考慮額外維護一個數組 \(st_{i,j}\) 表示 \(dp_{i,j}\) 的狀態，如果 \(st_{i,j}=0\) 表示 \(dp_{i,j}\) 為無用決策點，如果 \(st_{i,j}=2\) 表示 \(dp_{i,j}\) 從 \(dp_{i-1,j-|s_i|}+s_i\) 比從 \(dp_{i-1,j}\) 轉移更優，如果 \(st_{i,j}=1\) 表示 \(dp_{i,j}\) 從 \(dp_{i-1,j}\) 比從 \(dp_{i-1,j-|s_i|}+s_i\) 轉移更優，不難發現根據 \(fs_{i-1}\) 和 \(st_{i,j}\) 可以求出 \(dp_{i,j}\)，這樣空間就被我們成功地搞到了 \(\mathcal O(nm)\)。
還有一個問題就是怎樣維護這樣一個單調棧，假設我們已經求出了 \(dp_{i,j}\)，那麼我們考慮棧頂元素 \(dp_{i,s}\)，分三種情況考慮：
- 如果 \(dp_{i,s}\) 是 \(dp_{i,j}\) 的字首，那麼 \(dp_{i,s}\) 和 \(dp_{i,j}\) 都是有用的決策點，因此此時我們可以直接
break掉並將 \(j\) 壓入單調棧。 - 如果 \(dp_{i,j}\) 前 \(s\) 位的字典序小於 \(dp_{i,s}\)，那麼 \(dp_{i,s}\) 就沒用了，將 \(st_{i,s}\) 設為 \(0\) 並不斷彈出棧頂元素直至棧為空或不存在該情況為止。
- 如果 \(dp_{i,j}\) 前 \(s\) 位的字典序大於 \(dp_{i,s}\)，那麼 \(dp_{i,j}\) 就沒用了，直接退出並不將 \(j\) 壓入棧中。
直接暴力進行字典序比較是 \(\mathcal O(nm^2)\) 的，還是無法通過此題，不過還是根據之前的性質：根據 \(fs_{i-1}\) 和 \(st_{i,j}\) 可以求出 \(dp_{i,j}\)。因此我們考慮能不能直接根據 \(st_{i,s}\) 和 \(fs_{i-1}\)，進行一些預處理 \(\mathcal O(1)\) 判斷字典序大小呢？
答案是肯定的。
我們假設要對 \(dp_{i,j}\) 和 \(dp_{i,s}\) 比大小 \((j>s)\)，那麼分情況討論：
- \(st_{i,j}=st_{i,s}=1\)，那麼顯然它們都是 \(fs_{i-1}\) 的字首，顯然互為字首關係
- \(st_{i,j}=1,st_{i,s}=2\)，那麼 \(dp_{i,j}\) 為 \(fs_{i-1}\) 長度為 \(j\) 的字首，\(dp_{i,s}\) 為 \(fs_{i-1}\) 長度為 \(s-|s_i|\) 的字首拼上 \(s_i\)，因此我們只需檢驗 \(s_i\) 與 \(fs_{i-1}[s-|s_i|+1...j]\) 的大小關係即可。
- \(st_{i,j}=2,st_{i,s}=1\)，如果 \(s\le j-|s_i|\)，那麼顯然 \(dp_{i,s}\) 為 \(dp_{i,j}\) 的字首，否則我們需要比較 \(fs_{i-1}[j-|s_i|+1...s]\) 與 \(s_i\) 的大小關係。
- \(st_{i,j}=2,st_{i,s}=2\)，那麼我們要比較 \(fs_{i-1}[s+1...s]\) 與 \(s_i\) 的關係，相等的話進一步比較 \(s_i[s+|s_i|-j,...|s_i|]\) 與 \(s_i\) 的大小關係。
如果我們記 \(t_i=s_i+'\#'+fs_{i-1}\)，那麼上述比較操作均可表示為比較一個字首與一個子串的大小關係，可以通過比較第一個不相等的位置的字元判斷，而由於我們想求的是一個字首與一個子串的 LCP 的形式，因此可以考慮 Z 函式，這樣即可實現 \(\mathcal O(1)\) 比較。
總複雜度 \(nm+\sum|s_i|\)
const int MAXN=2000;
const int MAXM=1e4;
const int MAXL=1e6;
int n,m,k,dp[MAXN+5][MAXM+5];
string s[MAXN+5],fs[MAXN+5];
bool can[MAXN+5][MAXM+5];
char t[MAXL*2+5];int z[MAXL*2+5];
void z_func(){
int l=0,r=0;
for(int i=2;i<=m;i++){
z[i]=max(min(r-i+1,z[i-l+1]),0);
while(i+z[i]<=m&&t[i+z[i]]==t[z[i]+1]) ++z[i];
if(i+z[i]-1>r) l=i,r=i+z[i]-1;
}
}
int getcmp(int l,int r,int x){//comparison between a prefix and a substring (1 prefix > substring)
if(l>r) return (!x)?0:1;
if(z[l]>=min(r-l+1,x)) return 0;
return 1-((t[l+z[l]]>t[z[l]+1])<<1);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&k);can[n+1][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
static char str[MAXL+5];scanf("%s",str+1);
int len=strlen(str+1);
for(int j=1;j<=len;j++) s[i].pb(str[j]);
}
for(int i=n;i;i--) for(int j=0;j<=k;j++)
can[i][j]=can[i+1][j]|((j<s[i].size())?0:can[i+1][j-s[i].size()]);
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
m=0;for(int j=0;j<s[i].size();j++) t[++m]=s[i][j];
t[++m]='#';stack<int> stk;
for(int j=0;j<fs[i-1].size();j++) t[++m]=fs[i-1][j];t[m+1]='\0';
z_func();
for(int j=0;j<=k;j++) if(can[i+1][k-j]){
if(dp[i-1][j]&&j>=s[i].size()&&dp[i-1][j-s[i].size()])
dp[i][j]=1+(getcmp(s[i].size()+2+j-s[i].size(),s[i].size()+1+j,s[i].size())<=0);
else if(dp[i-1][j]) dp[i][j]=1;
else if(j>=s[i].size()&&dp[i-1][j-s[i].size()]) dp[i][j]=2;
if(dp[i][j]==1){
while(!stk.empty()){
int x=stk.top();
if(dp[i][x]==1) break;
else{
int st=getcmp(s[i].size()+2+x-s[i].size(),s[i].size()+1+j,s[i].size());
if(st==0) break;if(st==1) stk.pop(),dp[i][x]=0;
if(!~st){dp[i][j]=0;goto end1;}
}
} stk.push(j);
end1:
;
} else if(dp[i][j]==2){
while(!stk.empty()){
int x=stk.top();
if(dp[i][x]==2){
int st=getcmp(s[i].size()+2+x-s[i].size(),s[i].size()+1+j-s[i].size(),s[i].size());
if(!st){
int dif=j-x+1;
if(z[dif]+dif==s[i].size()+1) st=0;
else st=1-((t[z[dif]+dif]<t[z[dif]+1])<<1);
} if(st==1) stk.pop(),dp[i][x]=0;if(!st) break;
if(!~st){dp[i][j]=0;goto end2;}
} else {
if(x<=j-s[i].size()) break;
else{
int st=getcmp(s[i].size()+2+j-s[i].size(),s[i].size()+1+x,s[i].size());
if(st==0) break;if(!~st) stk.pop(),dp[i][x]=0;
if(st==1){dp[i][j]=0;goto end2;}
}
}
} stk.push(j);
end2:
;
}
}
if(!stk.empty()){
fs[i]=(dp[i][stk.top()]==1)?fs[i-1].substr(0,stk.top()):
fs[i-1].substr(0,stk.top()-s[i].size())+s[i];
} else fs[i]=fs[i-1];
} for(int i=0;i<k;i++) putchar(fs[n][i]);
return 0;
}
/*
5 6
aba
bab
bba
aab
bab
7 7
aa
aabb
a
bbaa
bba
babab
aa
*/