1.弗洛伊德(Floyd)演算法介紹

1. 和 Dijkstra 演算法一樣，弗洛伊德(Floyd)演算法也是一種用於尋找給定的加權圖中頂點間最短路徑的演算法。該演算法名稱以創始人之一、1978 年圖靈獎獲得者、斯坦福大學計算機科學系教授羅伯特·弗洛伊德命名
2. 弗洛伊德演算法(Floyd)計算圖中各個頂點之間的最短路徑
3. 迪傑斯特拉演算法用於計算圖中某一個頂點到其他頂點的最短路徑
4. 弗洛伊德演算法 VS 迪傑斯特拉演算法：迪傑斯特拉演算法通過選定的被訪問頂點，求出從出發訪問頂點到其他頂點的最短路徑；弗洛伊德演算法中每一個頂點都是出發訪問點，所以需要將每一個頂點看做被訪問頂點，求出從每一個頂點到其他頂點的最短路徑

2.弗洛伊德(Floyd)演算法圖解分析

1. 設定頂點 vi 到頂點 vk 的最短路徑已知為 Lik，頂點 vk 到 vj 的最短路徑已知為 Lkj，頂點 vi 到 vj 的路徑為 Lij，則 vi 到 vj 的最短路徑為：min((Lik+Lkj),Lij)，vk 的取值為圖中所有頂點，則可獲得 vi 到 vj 的最短路徑
2. 至於 vi 到 vk 的最短路徑 Lik 或者 vk 到 vj 的最短路徑 Lkj，是以同樣的方式獲得
3. 弗洛伊德(Floyd)演算法圖解分析-舉例說明

示例：求最短路徑為例說明

弗洛伊德演算法的步驟：
第一輪迴圈中，以 A(下標為：0)作為中間頂點【即把 A 作為中間頂點的所有情況都進行遍歷, 就會得到更新距離表 和 前驅關係】，距離表和前驅關係更新為：
 

分析如下：
1) 以 A 頂點作為中間頂點是，B->A->C 的距離由 N->9，同理 C 到 B；C->A->G 的距離由 N->12，同理 G 到 C
2) 更換中間頂點，迴圈執行操作，直到所有頂點都作為中間頂點更新後，計算結束

3.弗洛伊德(Floyd)演算法最佳應用-最短路徑

1. 勝利鄉有 7 個村莊(A, B, C, D, E, F, G)
2. 各個村莊的距離用邊線表示(權) ，比如 A – B 距離 5 公里
3. 問：如何計算出各村莊到 其它各村莊的最短距離?
4. 程式碼實現

import java.util.Arrays;

/**
 * 弗洛伊德演算法
 */
public class FloydAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        // 測試看看圖是否建立成功
        char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        //建立鄰接矩陣
        int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
        final int N = 65535;
        matrix[0] = new int[]{0, 5, 7, N, N, N, 2};
        matrix[1] = new int[]{5, 0, N, 9, N, N, 3};
        matrix[2] = new int[]{7, N, 0, N, 8, N, N};
        matrix[3] = new int[]{N, 9, N, 0, N, 4, N};
        matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, 0, 5, 4};
        matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, 0, 6};
        matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, 0};
        //建立 Graph 物件
        Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
        //呼叫弗洛伊德演算法
        graph.floyd();
        graph.show();
    }

    // 建立圖
    static class Graph {
        private char[] vertex; // 存放頂點的陣列
        private int[][] dis; // 儲存，從各個頂點出發到其它頂點的距離，最後的結果，也是保留在該陣列
        private int[][] pre;// 儲存到達目標頂點的前驅頂點

        // 構造器

        /**
         * @param length 大小
         * @param matrix 鄰接矩陣
         * @param vertex 頂點陣列
         */
        public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
            this.vertex = vertex;
            this.dis = matrix;
            this.pre = new int[length][length];
            // 對 pre 陣列初始化, 注意存放的是前驅頂點的下標
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                Arrays.fill(pre[i], i);
            }
        }

        // 顯示 pre 陣列和 dis 陣列
        public void show() {
            //為了顯示便於閱讀，我們優化一下輸出
            char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
            for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
                // 先將 pre 陣列輸出的一行
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                    System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");
                }
                System.out.println();
                // 輸出 dis 陣列的一行資料
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                    System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路徑是" + dis[k][i] + ") ");
                }
                System.out.println();
                System.out.println();
            }
        }

        //弗洛伊德演算法, 比較容易理解，而且容易實現
        public void floyd() {
            int len = 0; //變數儲存距離
            //對中間頂點遍歷， k 就是中間頂點的下標 [A, B, C, D, E, F, G]
            for (int k = 0; k < dis.length; k++) { //
                //從 i 頂點開始出發 [A, B, C, D, E, F, G]
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                    //到達 j 頂點 // [A, B, C, D, E, F, G]
                    for (int j = 0; j < dis.length; j++) {
                        len = dis[i][k] + dis[k][j];// => 求出從 i 頂點出發，經過 k 中間頂點，到達 j 頂點距離
                        if (len < dis[i][j]) {//如果 len 小於 dis[i][j]
                            dis[i][j] = len;//更新距離
                            pre[i][j] = pre[k][j];//更新前驅頂點
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}