線性代數學習筆記（代數篇）

阿新 • • 發佈：2021-08-04

1.向量

高中必修一知識，以二維向量為例。

本章只選取了與代數有較大關聯的內容，完整版見幾何篇。

1.1向量的表示

也就是後文提到的列向量，表示為 \(\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\)

1.2向量的運算

1.2.1點積

\[(a,b)\cdot (c,d)=ac+bd \]

描述為更符合線性代數的形式：

\[\begin{bmatrix} a&b\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} c\\ d\end{bmatrix} =ac+bd \]

1.2.2叉積

向量叉積與行列式有關。

\[\vec v\times \vec p={\rm det}\left (\begin{bmatrix} \vec i&v_1&p_1\\\vec j&v_2&p_2\end{bmatrix}\right) \]

2.矩陣

2.1一些概念

對於矩陣 \(A\) ：

主對角線：即 \(A_{i,i}\) 元素組成的集合。
單位矩陣：表示為 \(I\)，指主對角線中元素為1，其餘元素為0的矩陣。
逆矩陣：滿足 \(A\times A^{-1}=I\) 的矩陣 \(A^{-1}\)
矩陣的轉置：記為 \(A^T\)，其中，\(A^T_{i,j}=A_{j,i}\)
行向量：1 行 \(n\) 列的矩陣。
列向量：\(n\) 行 1 列的矩陣。
\(n\) 階方陣：\(n\times n\) 的矩陣 \(A_n\)
上/下三角矩陣：對角線下/上全為 0 的矩陣

2.2矩陣乘法

設 \(A\) 是大小 \(r\times m\)

的矩陣，\(B\) 是大小為 \(m\times c\) 的矩陣，令 \(C=A\times B\)，則

\[C_{i,j}=\sum_{k=1}^m A_{i,k}B_{k,j} \]

3.行列式

2.1bigformula定義

對於 \(n\) 階方陣 \(A=(a_{i,j})\) ，定義
\[{\rm det}(A)=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^na_{i,\sigma(i)} \]
其中，\(S_n\) 是指長度為 \(n\) 的全體排列的集合，\(\sigma\) 是一個全排列，如果 \({\sigma}\)

的逆序對對數為偶數，則 \({\rm sgn}(\sigma)=1\)，否則 \({\rm sgn}(\sigma) = -1\)

簡記為 \({\rm det}(A)=|A|\)

人話：從矩陣的每一行中挑出一個數累乘，每個數用一個與排列的逆序對相關的數作為係數。

2.2性質

以三階行列式為例。

不需要死記硬背，建議從幾何意義上理解

\(|I|=1\)
在行列式中，一行（列）元素全為0，則此行列式的值為0
\[\left|\begin{matrix}0&0&0\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&0\\a_{2,1}&a_{2,2}&0\\a_{3,1}&a_{3,2}&0\end{matrix}\right | = 0 \]
在行列式中，某一行（列）有公因子 \(k\)，則可以提出 \(k\)
\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=k\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right | \]
在行列式中，若某一行（列）的每個元素是兩數之和，則可以拆分為兩個相加的行列式
\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&a_{2,3}+b_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |+\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right | \]
在行列式中，兩行（列）互換，行列式符號取反
\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=-\left|\begin{matrix}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right | \]
在行列式中，有兩行（列）對應成比例，則行列式值為 0
\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}\end{matrix}\right |=0 \]
在行列式中，將一行（列）的 \(k\) 倍加入另一行（列）中，行列式的值不變
\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}+ka_{1,2}&a_{2,2}+ka_{1,2}&a_{2,3}+ka_{1,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right | \]
將行列式的行列互換，行列式的值不變，即
\[|A|=|A^{T}| \]
對於上三角矩陣
\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\0&a_{2,2}&a_{2,3}\\0&0&a_{3,3}\end{matrix}\right |=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} \]
行列式乘法定理
\[{\rm det}(AB)={\rm det}(A){\rm det}(B) \]
特別地，當與常數 \(r\) 相乘時，有
\[{\rm det}(rA)={\rm det}(rI\cdot A)={\rm det}(rI){\rm det}(A)=r^n{\rm det}(A) \]

2.3求解行列式

對於 \(n\) 階方陣 \(A\)，有

2.3.1定義法

直接按照定義式計算，時間複雜度 \(\Theta(n\cdot n!)\)

2.3.2高斯消元

通過 2.2 羅列的性質可知，行列式是可以進行消元操作的，因此可以通過高斯消元，將原矩陣簡化為三角矩陣，時間複雜度 \(\Theta(n^3)\)。

2.3.3行列式展開

2.3.3.1代數餘子式

將 \(A\) 的某些行與列去掉（假設去掉 \(i\) 行 \(j\) 列）之後所餘下的方陣的行列式，其相應的方陣有時被稱為餘子陣，記為 \(M_{ij}\)

一個矩陣 \(A=(a_{i,j})\) 的代數餘子式：\(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)

2.3.3.2Laplace展開

對於第 \(i\) 行，有 \({\rm det}(A)=\sum_{j=1}^na_{i,j}C_{ij}\)

對於第 \(j\) 列，有 \({\rm det}(A)=\sum_{i=1}^n a_{i,j}C_{ij}\)

2.3.3.3餘因子矩陣、伴隨矩陣與逆矩陣

矩陣 \({\rm cof}(A)=(C_{ij})_{i,j}\) 稱作 \(A\) 在 \((i,j)\) 的餘因子矩陣，即將 \(C_{ij}\) 擺在矩陣的第 \(i\) 行第 \(j\) 列。

\({\rm cof}(A)\) 的轉置矩陣稱為 \(A\) 的伴隨矩陣，記為 \({\rm adj}(A)\)

如果矩陣 \(A\) 可逆，則 \(A^{-1}=\dfrac{{\rm adj}(A)}{{\rm det}(A)}=\dfrac{A^*}{|A|}\)，\(A^*\) 表示 \(A\) 的伴隨矩陣。

2.4Cauchy-Binet公式

給定兩個 \(n\times m\) 的矩陣，有

\[{\rm det}(AB^T)=\begin{cases}0&m<n\\ \sum_{1\leq i_1 < i_2<...<i_m\leq n}{\rm det}(A_{i_1,i_2,...,i_m}){\rm det}(B _{i_1,i_2,...,i_m})&m\ge n\end{cases} \]

其中 \(A_{i_1,i_2,...,i_m}\) 為 \(A\) 保留 \(i_1,i_2,...,i_m\) 列所得的矩陣。

2.3一些定理

2.3.1矩陣樹定理

坑待補...

2.3.2LGV引理