前言

　　二叉搜尋樹的中序遍歷是升序序列，題目給定的陣列是按照升序排序的有序陣列，因此可以確保陣列是二叉搜尋樹的中序遍歷序列。

1、給定二叉搜尋樹的中序遍歷，是否可以唯一地確定二叉搜尋樹？

答案是否定的。如果沒有要求二叉搜尋樹的高度平衡，則任何一個數字都可以作為二叉搜尋樹的root節點，因此可能的二叉搜尋樹有多個。

2、如果增加一個限制條件，即要求二叉搜尋樹的高度平衡，是否可以唯一地確定二叉搜尋樹？答案仍然是否定的。

直觀地看，我們可以選擇中間數字作為二叉搜尋樹的根節點，這樣分給左右子樹的數字個數相同或只相差 11，可以使得樹保持平衡。

如果陣列長度是奇數，則根節點的選擇是唯一的，

如果陣列長度是偶數

　　確定平衡二叉搜尋樹的根節點之後，其餘的數字分別位於平衡二叉搜尋樹的左子樹和右子樹中，左子樹和右子樹分別也是平衡二叉搜尋樹，因此可以通過遞迴的方式建立平衡二叉搜尋樹。

　　當然，這只是我們直觀的想法，為什麼這麼建樹一定能保證是「平衡」的呢？這裡可以參考「leetcode 1382. 將二叉搜尋樹變平衡」，這兩道題的構造方法完全相同，這種方法是正確的，1382 題解中給出了這個方法的正確性證明：1382 官方題解，感興趣的同學可以戳進去參考。

　　遞迴的基準情形是平衡二叉搜尋樹不包含任何數字，此時平衡二叉搜尋樹為空。

　　在給定中序遍歷序列陣列的情況下，每一個子樹中的數字在陣列中一定是連續的，因此可以通過陣列下標範圍確定子樹包含的數字，下標範圍記為 [left,right]。對於整個中序遍歷序列，下標範圍從 left=0 到 right=nums.length−1。當 left>right 時，平衡二叉搜尋樹為空。

以下三種方法中，方法一總是選擇中間位置左邊的數字作為根節點，方法二總是選擇中間位置右邊的數字作為根節點，方法三是方法一和方法二的結合，選擇任意一箇中間位置數字作為根節點。

1、方法一：中序遍歷，總是選擇中間位置左邊的數字作為根節點

選擇中間位置左邊的數字作為根節點，則根節點的下標為mid=(left+right)/2，此處的除法為整數除法。

class Solution {
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
        return helper(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    public TreeNode helper(int[] nums, int left, int right) {
        if (left > right) {
            return null;
        }

        // 總是選擇中間位置左邊的數字作為根節點
        int mid = (left + right) / 2;

        TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
        root.left = helper(nums, left, mid - 1);
        root.right = helper(nums, mid + 1, right);
        return root;
    }
}

複雜度分析：

時間複雜度：O(n)，其中 n 是陣列的長度。每個數字只訪問一次。

空間複雜度：O(log n)，其中 n 是陣列的長度。空間複雜度不考慮返回值，因此空間複雜度主要取決於遞迴棧的深度，遞迴棧的深度是O(logn)。

2、方法二：中序遍歷，總是選擇中間位置右邊的數字作為根節點

選擇中間位置右邊的數字作為根節點，則根節點的下標為 mid=(left+right+1)/2，此處的除法為整數除法。

class Solution {
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
        return helper(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    public TreeNode helper(int[] nums, int left, int right) {
        if (left > right) {
            return null;
        }

        // 總是選擇中間位置右邊的數字作為根節點
        int mid = (left + right + 1) / 2;

        TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
        root.left = helper(nums, left, mid - 1);
        root.right = helper(nums, mid + 1, right);
        return root;
    }
}

複雜度分析：

時間複雜度：O(n)，其中 n 是陣列的長度。每個數字只訪問一次。

空間複雜度：O(log n)，其中 n 是陣列的長度。空間複雜度不考慮返回值，因此空間複雜度主要取決於遞迴棧的深度，遞迴棧的深度是 O(log n)。

3、方法三：中序遍歷，選擇任意一箇中間位置數字作為根節點

選擇任意一箇中間位置數字作為根節點，則根節點的下標為 mid=(left+right)/2 和 mid=(left+right+1)/2 兩者中隨機選擇一個，此處的除法為整數除法。

class Solution {
    Random rand = new Random();

    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
        return helper(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    public TreeNode helper(int[] nums, int left, int right) {
        if (left > right) {
            return null;
        }

        // 選擇任意一箇中間位置數字作為根節點
        int mid = (left + right + rand.nextInt(2)) / 2;

        TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
        root.left = helper(nums, left, mid - 1);
        root.right = helper(nums, mid + 1, right);
        return root;
    }
}

複雜度分析

　　時間複雜度：O(n)，其中 n 是陣列的長度。每個數字只訪問一次。

　　空間複雜度：O(log n)，其中 n 是陣列的長度。空間複雜度不考慮返回值，因此空間複雜度主要取決於遞迴棧的深度，遞迴棧的深度是O(log n)。