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P5665

題意：

給出 \(n\) 個整數 \(a_i\) ，你需要找到一些分界點 \(1 \leq k_1 \lt k_2 \lt \cdots \lt k_p \lt n\)，使得

\(\sum\limits_{i=1}^{k_1} a_i \leq \sum\limits_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \leq \cdots \leq \sum\limits_{i=k_p+1}^{n} a_i\)。

注意 \(p\) 可以為 \(0\) 且此時 \(k_0 = 0\)。

請你最小化

\((\sum\limits_{i=1}^{k_1} a_i)^2 + (\sum\limits_{i=k_1+1}^{k_2} a_i)^2 + \cdots + (\sum\limits_{i=k_p+1}^{n} a_i)^2\)

分析：

根據完全平方公式有：\((a+b)^2\geq a^2+b^2\)

所以分段比不分段更優。其次，對於一個數 \(x\)，將他分到左邊和右邊會造成 \(2x*sum_{side}+x^2\) 的貢獻（\(sum\) 指兩區間和），又因為 \(sum_L\leq sum_R\) 所以儘量分到左邊更優。也就是說，最後一段和最小時，答案最優。（這個策略還是能猜出來，只是不敢確定）。於是就有後面的\(O(n^2)\) dp 了。

演算法：

首先維護一個字首和 \(sum\) （和上文 \(sum\) 不同）。設 \(d[i]\) 為 \(i\) 結尾，最後一段最小時上一段的結尾位置，於是有 \(d[i]=max\{j|sum[i]-sum[j]\geq sum[j]-sum[d[j]]\}\)

優化：

根據上述演算法可以寫出這樣的程式：

for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i-1;j>=1;j--)
			if(sum[i]-sum[j]<sum[j]-sum[d[j]]) continue;
			d[i]=j; break;
	}
	int now=n;
	while(now){
		int t=sum[now]-sum[d[now]];
		ans+=t*t;
		now=d[now];
	}
 

\(O(n^2)\) 複雜度可以通過64分的好成績，但是看到 \(2\leq n\leq4\times10^7\)，這說明我們需要一個 \(O( n )\) 或實（hen）現（neng）良（ka）好（chang）的 \(O(n\log n)\)。

回顧演算法，發現判斷 \(j\) 是否合法時的柿子：

\(sum[i]-sum[j]\geq sum[j]-sum[d[j]]\)

可以繼續改寫：

\(2*sum[j]-sum[d[j]]\leq sum[i]\)

此時左邊只與 \(j\) 有關右邊只與 \(i\) 有關。設 \(A(j)=2*sum[j]-sum[d[j]]\) 。顯然 \(A(j)\) 越小，\(j\) 越可能成為合法答案，所以當存在 \(j_1<j_2\) 且 \(A(j_1)>A(j_2)\) 時，\(j_2\) 比 \(j_1\) 更優。

又有 \(sum[i]\lt sum[i+1]\) 所以當一個 \(j\) 滿足 \(A(j)\leq sum[i]\) 時，它也滿足 \(A(j)\leq sum[i+1]\)。

基於以上兩點我們可以維護出一個 \(A(j)\) 單調上升且 \(j\) 單調上升的單調佇列，每次轉移時找到最大的滿足 \(A(j)\leq sum[i]\) 的 \(j\)，小於 \(j\) 的狀態可以捨棄，更新 \(d[i]\) 後將 \(A(i)\) 加入佇列尾並彈出 \(A(k)>A(i)\) 的狀態 \(k\)，每個點最多進出1次，所以複雜度是 \(O(n)\)。

於是我們可以這樣維護 \(d[i]\)：

for(int i=1;i<=n;i++){
		while(head<tail&&A(q[head+1])<=sum[i])head++;
		d[i]=q[head];
		while(head<tail&&A(i)<A(q[tail]))tail--;
		q[++tail]=i;
	}

另外的，此題最後三個測試點相當毒瘤，輸入相當佔時間和空間，資料範圍會爆 long long。我們不得不選擇高精(或考場上不敢寫的__int128)，同時需要對空間和時間能夠精確把控，最好還是自己慢慢調，可以鍛鍊自己的程式碼能力。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define in read()
inline int read(){
	int p=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}
	return p*f;
}
const int N=4e7+5;
ll sum[N];
int d[N],q[N],n,type,head,tail;
inline __int128 A(int i){return 2*sum[i]-sum[d[i]];}
//sub23~25
const int M=1e5+5;
const int mod=1ll<<30;
ll x,y,z,m;
int p[M],l[M],r[M];
ll b[N];
//
__int128 ans;
void print(__int128 x){
	if(x==0){
		cout<<0;
		return ;
	}
	string res="";
	while(x){
		res+=x%10+'0';
		x/=10;
	}
	reverse(res.begin(),res.end());
	cout<<res;
}
signed main(){
	n=in,type=in;
	if(type==0)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			sum[i]=sum[i-1]+in;		
	else{
		x=in,y=in,z=in,b[1]=in,b[2]=in,m=in;
		for(int i=1;i<=m;i++)
			p[i]=in,l[i]=in,r[i]=in;
		for(int i=3;i<=n;i++)
			b[i]=((x*b[i-1]%mod+y*b[i-2]%mod)%mod+z)%mod;
		int now=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(i>p[now])now++;
			sum[i]=sum[i-1]+b[i]%(r[now]-l[now]+1)+l[now];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(head<tail&&A(q[head+1])<=sum[i])head++;
		d[i]=q[head];
		while(head<tail&&A(i)<A(q[tail]))tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	int now=n;
	while(now){
		__int128 t=sum[now]-sum[d[now]];
		ans+=t*t;
		now=d[now];
	}
	print(ans);
	return 0;
}

可能是因其毒瘤的資料才成為了紫題