紅黑樹（Red Black Tree）是一種自平衡的二叉搜尋樹（Self-balancing Binary Search Tree）。以前也叫平衡二叉B樹（Symmetric Binary B-Tree）

1、前言

樹的結構

1.1 平衡二叉搜尋樹

平衡二叉搜尋樹（Balanced Binary Search Tree），簡稱BBST，常見的平衡二叉搜尋樹是AVL和紅黑樹

• 二叉搜尋樹

二叉搜尋樹（Binary Search Tree）是二叉樹的一種，簡稱BST。又稱為二叉查詢樹、二叉排序樹

他的特點是任何一個結點的值都大於其左子樹的所有結點的值，任何一個結點的值都小於其右子樹的所有結點

• 平衡

平衡（Balance）：就是當結點數量固定時，左右子樹的高度越接近，這顆二叉樹越平衡（高度越低）。最理想的平衡就是完全二叉樹/滿二叉樹，高度最小的二叉樹。

一顆二叉搜尋樹平均時間複雜度可以認為是樹的高度O（h）。

像左邊這棵樹，結點左右子樹的高度相差1，屬於平衡二叉搜尋樹，O（h）=O（logn）

右邊的高度達到了最大，已經退化為連結串列，O（h）=O（n）

• 改進二叉搜尋樹

當二叉樹退化成連結串列時，效能很低，所以我們需要在結點插入、刪除操作之後，想辦法讓二叉搜尋樹恢復平衡（減小樹的高度）

但是如果為了追求最理想的平衡，而增加了時間複雜度也不是很有必要，因此比較合理的方案就是：用盡量少的調整次數達到適度平衡。

由此引申出 AVL 樹的概念。

1.2 AVL樹

AVL樹是最早發明的自平衡二叉搜尋樹之一，它取名字兩位發明家的名字：G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis。

平衡因子（Balance Factor）：某結點的左右子樹的高度差

每個葉子結點的平衡因子都是0、看這棵樹，紅色資料標註了每個結點對應的平衡因子

舉例：

• 8的左子樹高度為2，右子樹高度為1，因此平衡因子為1
• 5的左子樹高度0，右子樹高度為3，因此平衡因子為-3
• 4的左子樹高度為2，右子樹高度4，因此平衡因子為-2

這顆AVL樹和它每個結點對應的平衡因子

可以看出AVL樹具有以下特點：

1. 每個結點的平衡因子只可能是-1、0、1（如果絕對值超過1，則認為是失衡）
2. 每個結點的左右子樹高度差不超過1
3. 搜尋、插入、刪除的時間複雜度為O（logn）

1.3 B樹

B樹（Balanced Tree）是一種平衡的多路搜尋樹，多用於檔案系統、資料庫的實現

一個簡單的3階B樹：

特點：

1. 1個結點可以儲存超過2個元素，可以擁有超過2個子節點
2. 擁有二叉搜尋樹的一些特性
3. 平衡，每個結點的所有子樹高度一致
4. 矮

m階B樹的性質（m>=2）

m階B樹指的是一個結點最多擁有m個子結點。假設一個結點儲存的元素個數為x，那麼如果這個結點是：

• 根節點：1 ≤ x ≤ m - 1
• 非根結點：┌ m / 2 ┐ - 1 ≤ x ≤ m - 1

如果有子結點，子結點個數為 y = x + 1，那麼如果這個結點是：

• 根結點：2 ≤ y ≤ m
• 非根結點：┌ m / 2 ┐ ≤ y ≤ m

向上取整（Ceiling），指的是取比自己大的最小整數，用數學符號 ┌ ┐ 表示；
向下取整（Floor），指的是取比自己小的最大整數，用數學符號 └ ┘ 表示。

比如 m=3，子結點個數 2≤y≤3，這個 B 樹可以稱為（2，3）樹、2-3 樹。
比如 m=4，子結點個數 2≤y≤4，這個 B 樹可以稱為（2，4）樹、2-3-4 樹。比如 m=5，子結點個數 3≤y≤4，這個 B 樹可以稱為（3，5）樹、3-4-5 樹

1.4 B樹VS二叉搜尋樹

這是一棵二叉搜尋樹，通過某些父子結點合併，恰好能與上面的 B 樹對應。我們可以得到結論：

• B 樹和二叉搜尋樹，在邏輯上是等價的
• 多代結點合併，可以獲得一個超級結點，且 n 代合併的超級結點，最多擁有 (2^n) 個子結點 （至少是 (2^n) 階 B 樹）

2、紅黑樹的定義和性質

紅黑樹是一種含有紅黑結點並能自平衡的二叉搜尋樹

為了保證平衡，紅黑樹必須滿足一下性質：

• 每個結點要麼是紅色、要麼是黑色
• 根節點必須是黑色
• 葉結點（外部結點、空結點）是黑色
• 紅色結點不能連續（紅色結點的孩子和父親都是黑色）
• 對於每個結點，從該點到nil（數尾端，java中為null的結點）的任何路徑都包含所相同個數的黑色結點

3、紅黑樹與B樹的等價變換

對紅黑樹做等價變換，即將所有的紅色結點上升一層與它的父節點放在同一行，這就很像一顆4階B樹，轉換效果如下：

得出結論：

• 紅黑樹與4階B樹（2-3-4樹）具有等價性
• 黑色結點與紅色子節點融合在一起，形成1個B樹結點
• 紅黑樹的黑色結點個數與4階B樹的結點總個數相等

4、紅黑樹的基本操作

當我們對一棵平衡二叉搜尋樹進行插入、刪除的時候，很可能會讓這棵樹變得失衡（最壞可能導致所有祖先結點失衡，但是父結點和非祖先結點都不可能失衡）。

為了達到平衡，需要對樹進行旋轉。而紅黑樹能夠達到自平衡，靠的也就是左旋、右旋和變色。

旋轉操作是區域性的。當一側子樹的結點少了，向另一側“借”一些結點；當一側子樹的結點多了，則“租”一些結點給另一側。

• N-node：當前結點
• P-parent：父節點
• S-sibling：兄弟結點
• U-uncle：叔叔結點（p的兄弟結點）
• G-grand：爺爺結點（p的父節點）

4.1 左旋

左旋指的是以某個結點作為支點（旋轉結點），其右子結點變為旋轉結點的父結點，右子結點的左子結點變為旋轉結點的右子結點，左子結點保持不變。

4.2 右旋

右旋指的是以某個結點作為支點（旋轉結點），其左子結點變為旋轉結點的父結點，左子結點的右子結點變為旋轉結點的左子結點，右子結點保持不變。

4.3 變色

變色指的是結點的顏色由紅色變為黑色或由黑色變為紅色

4.4 變換規則

將左旋、右旋和變色結合起來，得到一套變換規則

變色：如果當前結點的父結點和叔叔結點是紅色，那麼：

• 把父結點和叔叔結點變為黑色
• 把祖父結點變為紅色
• 把指標定義到祖父結點

左旋：當前結點是右子樹，且父結點是紅色，叔叔結點是黑色，對它的父結點左旋

右旋：點前結點是左子樹，且父結點是紅色，叔叔結點是黑色，那麼：

• 把父結點變為黑色
• 把爺爺結點變為紅色
• 對爺爺結點右旋

5、紅黑樹搜尋

由於紅黑樹本來就是平衡二叉搜尋樹，並且搜尋也不會破壞樹的平衡，所以搜尋演算法也與平衡二叉樹搜尋一致

具體步驟如下：

• 從根結點開始檢索，把根結點設定為當前結點。
• 若當前結點為空，返回 nil。
• 若當前結點不為空，比較當前結點 key 與搜尋 key 的大小。
• 若當前結點 key 等於搜尋 key，那麼該 key 就是搜尋目標，返回當前結點。
• 若當前結點 key 大於搜尋 key，把當前結點的左子結點設定為當前結點，重複步驟 2。
• 若當前結點 key 小於搜尋 key，把當前結點的右子結點設定為當前結點，重複步驟 2。

6、紅黑樹插入

具體步驟如下：

• 從根結點開始檢索。
• 若根結點為空，那麼插入結點設為根結點，結束。
• 若根結點不為空，那麼把根結點設為當前結點。
• 若當前結點為 nil，返回當前結點的父結點，結束。
• 若當前結點 key 等於搜尋 key，那麼該 key 所在結點就是插入結點，更新結點的值，結束。
• 若當前結點 key 大於搜尋 key，把當前結點的左子結點設定為當前結點，重複步驟 4。
• 若當前結點 key 小於搜尋 key，把當前結點的右子結點設定為當前結點，重複步驟 4

7、插入後實現自平衡

建議新新增的結點預設為紅色，因此這樣能夠讓紅黑樹的性質儘快滿足。不過如果新增的結點是根結點，設為黑色即可。

紅黑樹插入可能出現的場景：

①場景 1：紅黑樹為空樹
紅黑樹的性質 2：根結點必須是黑色。處理：直接把插入結點設成黑色並作為根結點。②場景 2：插入結點的 key 已存在二叉搜尋樹中不能插入相同元素，既然結點的 key 已經存在，紅黑樹也已平衡，無需重複插入。
處理：

• 將插入結點設為將要替換結點的顏色
• 更新當前結點的值為插入結點的值

③場景 3：插入結點的父結點為黑色插入的結點預設是紅色的，當它的父結點是黑色時，並不會破壞平衡。
處理：直接插入。
④場景 4：插入結點的父結點為紅色如果插入結點的父結點為紅色，那麼父結點不可能為根結點，所以插入結點總是存在祖父結點。這點很重要，後續的旋轉操作需要祖父結點的參與。
場景 4.1：存在叔父結點，且為紅色

由紅黑樹性質 4 可知：紅色結點不能連續。那麼此時該插入子樹的紅黑層數的情況是：黑-紅-紅。顯然最簡單的處理方式就是將其改為：紅-黑-紅。

處理：

• 將父結點和叔父結點變為黑色
• 將祖父結點變為紅色
• 將祖父結點設定為當前插入結點

場景 4.2：叔父結點不存在或為黑色，插入結點的父結點是祖父結點的左子結點這種場景下，叔父結點所在的子樹的黑色結點就比父結點所在子樹的多，不滿足紅黑樹的性質 5。

場景 4.2.1：插入結點是左子樹

處理：

• 將父結點變為黑色
• 將祖父結點變為紅色
• 將祖父結點右旋

場景 4.2.2：插入結點是左子樹

這種場景顯然可以轉換為 4.2.1。

處理：

• 將父結點進行左旋
• 將父結點設為插入結點，得到場景 4.2.1
• 進行場景 4.2.1 的處理

場景 4.3：叔父結點不存在或為黑色，插入結點的父結點是祖父結點的右子結點相當於場景 4.2 的方向反轉，直接看圖。

場景 4.3.1：插入結點是左子樹

處理：

• 將父結點變為黑色
• 將祖父結點變為紅色
• 對祖父結點進行左旋

場景 4.3.2：插入結點是右子樹

處理：

• 將父結點進行右旋
• 將父結點設定為插入結點，得到場景 4.3.1
• 進行場景 4.3.1 的處理

下面舉個例子，往一棵紅黑樹中插入元素，整棵樹的變換如下圖所示：

8、紅黑樹刪除

紅黑樹刪除操作也分為兩步：

定位刪除的位置
定位刪除位置可以複用紅黑樹搜尋的操作。如果不存在目標結點，忽略本次操作；如果找到目標結點，刪除後進行自平衡處理。

刪除後實現自平衡二叉搜尋樹刪除的時候可能出現三種場景：

• 若刪除結點無子結點，直接刪除即可。
• 若刪除結點只有一個子結點，用子結點替換刪除結點。
• 若刪除結點有兩個子結點，用**後繼結點（大於刪除結點的最小結點）**替換刪除結點。

另外兩種二叉樹的刪除場景都可以通過相互轉換變為場景一。
在場景二情況下：刪除結點用其唯一的子結點替換，子結點替換為刪除結點後，可以認為刪除的是子結點，若子結點又有兩個子結點，那麼相當於轉換為場景三，一直自頂向下轉換，總是能轉換為場景一。

在場景三情況下：刪除結點用後繼結點，如果後繼結點有右子結點，那麼相當於轉換為場景二，否則轉為場景一。

綜上所述，刪除的結點可以看作刪除替換結點，且替換結點最後總是在樹末。

紅黑樹刪除可能出現的所有場景：

為了方面理解，我們先約定一下結點的叫法：

• R：替換結點
• P：替換結點的父結點
• S：替換結點的兄弟結點
• SL：兄弟結點的左子結點
• SR：兄弟結點的右子結點
• 灰色：結點顏色可能是紅色，也可能是黑色

R是即將被替換到刪除結點的位置的替換結點，在刪除前，它還在原來所在位置參與樹的子平衡；平衡後再替換到刪除結點的位置，才算刪除完成

①場景 1：替換結點為紅色
我們把替換結點換到了刪除結點的位置時，由於替換結點為紅色，刪除也了不會影響紅黑樹的平衡，只要把替換結點的顏色變為刪除的結點的顏色即可重新平衡。

處理：替換結點顏色變為刪除結點的顏色。

②場景 2：替換結點為黑色當替換結點是黑色時，就必須進行自平衡處理了，我們可以通過區分替換結點是其父結點的左子結點還是右子結點，來做不同的旋轉，使樹重新平衡。

場景 2.1：替換結點是左子樹

場景 2.1.1：替換結點的兄弟結點為紅色

若兄弟結點是紅結點，那麼根據紅黑樹性質 4，兄弟結點的父結點和子結點肯定為黑色，按照下圖方式處理，得到刪除場景 2.1.2.3。

處理：

• 將兄弟結點變為黑色
• 將父結點變為紅色
• 對父結點進行左旋，得到場景 2.1.2.3
• 進行場景 2.1.2.3 的處理

場景 2.1.2：替換結點的兄弟結點為黑色
當兄弟結點為黑時，其父結點和子結點的具體顏色也無法確定，此時又得考慮多種子場景。

場景 2.1.2.1：替換結點的兄弟結點的右子結點為紅色，左子結點任意顏色即將刪除的左子樹的一個黑色結點，顯然左子樹的黑色結點少 1 了，然而右子結點又是紅色，那麼我們直接向右子樹“借”個紅結點來補充黑結點，並進行旋轉處理。

處理：

• 將兄弟結點的顏色變為父結點的顏色
• 將父結點變為黑色
• 將兄弟結點的右子結點變為黑色
• 對父結點進行左旋

場景 2.1.2.2：替換結點的兄弟結點的右子結點為黑色，左子結點為紅色
兄弟結點所在的子樹有紅結點，又可以向兄弟子樹“借”個紅結點過來，這就轉換回了場景 2.1.2.1。

處理：

• 將兄弟結點變為紅色
• 將兄弟結點的左子結點變為黑色
• 對兄弟結點進行右旋，得到場景 2.1.2.1
• 進行場景 2.1.2.1 的處理

場景 2.1.2.3：替換結點的兄弟結點的子結點都為黑色

兄弟子樹沒有紅結點可以“借”了，再向父結點“借”。如果父結點是黑色，為了讓父結點在所在的子樹中保證平衡（替換結點即將刪除，少了一個黑色結點，子樹也需要少一個）先把兄弟結點變為紅色，再讓父結點成為新的替換結點。

處理：

• 如果父結點為黑色：將兄弟結點變為紅色；將父結點作為新的替換結點；重新進行刪除結點的場景處理。
• 如果父結點為紅色：替換結點的父結點和替換結點的兄弟結點顏色交換；刪除結點和替換結點的值交換後，刪除替換結點。

場景 2.2：替換結點是右子樹實際上是場景 2.1 的映象操作。

場景 2.2.1：替換結點的兄弟結點為紅色

處理：

• 將兄弟結點變為黑色
• 將父結點變為紅色
• 對父結點進行右旋，得到場景 2.2.2.3
• 進行場景 2.2.2.3 的處理

場景 2.2.2：替換結點的兄弟結點為黑色

場景 2.2.2.1：替換結點的兄弟結點的左子結點為紅色，右子結點任意顏色

處理：

• 將兄弟結點的顏色變為父結點的顏色
• 將父結點變為黑色
• 將兄弟結點的左子結點變為黑色
• 對父結點進行右旋

場景 2.2.2.2：替換結點的兄弟結點的左子結點為黑色，右子結點為紅色

處理：

• 將兄弟結點變為紅色
• 將兄弟結點的右子結點設為黑色
• 對兄弟結點進行左旋，得到場景 2.2.2.1
• 進行場景 2.2.2.1 的處理

場景 2.2.2.3：替換結點的兄弟結點的子結點都為黑色

處理：

• 如果父結點為黑色：將兄弟結點變為紅色；將父結點作為新的替換結點；重新進行刪除結點的場景處理。
• 如果父結點為紅色：替換結點的父結點和替換結點的兄弟結點顏色交換；刪除結點和替換結點的值交換後，刪除替換結點。