剛接觸這些東西感覺整個人都不好了
由於涉及大量公式所以將大面積貼上各種圖片，基本來自wiki

兩個引理

證明就是利用向下取整把後面的\(r\)搞沒了

對於任意\(d\)取便整數集合，\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)最多僅有\(2 \sqrt{n}\)種取值
證明比較直觀就不解釋了
這個東西主要作用是數論分塊
也就是你找出連續的一段，這段裡的\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)都一樣，就能快速算
每次先用上一次的右邊界加上1作為現在的左邊界，用\(\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \rfloor\)

積性函式

在whk中有做過這方面的題，定義主要是方便理解，記住關鍵是乘積

前面幾個就是對積性函式進行各種變換之後還是積性函式，後面就是質因數分解了
接下來是幾個常用函式：
單位函式：\(\varepsilon(n)=[n=1]\)
恆等函式：\(id(n)=n\)
常數函式：\(I(n)=1\)
約數函式：\(\sigma_{k}(n)=\sum_{d\mid n}d^{k}\),\(\sigma_0 n=d(n)\)
尤拉函式：\(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n [\gcd(i,n)=1]\)
莫比烏斯函式:\(\mu(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & \exists d>1,d^{2} \mid n \\ (-1)^{\omega(n)} & \texttt{otherwise}\end{cases}\)

卷積

於是得到以下性質：

然後對於上面的幾個函式有這麼幾個柿子

前兩個根據函式定義帶進去就能證
第三個
相當與一開始假定不能整除的有\(n\)個，然後減去因子，再補上減多的，相當與一個容斥
最後一個只要兩邊都卷一個\(\mu\)再利用上面的柿子就有了
這個玩意的主要用途是各種化簡柿子

莫比烏斯函式

乍一看為啥搞了個這東西，因為他有用，能化簡各種毒瘤式子
一個性質：

證明一下，如果在列舉的\(d\)

二項式定理把它變成（1-1）^{cnt}，就是單位函式
然後是最重要的一個結論：

證明用上面的性質很好推出來，做題基本靠他

莫比烏斯反演

證明可以推式子再結合實際意義，不過直接卷也能證
高階一點的推柿子要用到

還有一個部落格感覺比較適合入門

線性篩

基本所有積性函式和一些非積性函式可以用線性篩出來
由於沒做題就先咕了，剩下的做點題有感覺了再說