【數學】淺談三角函式
銳角三角函式
1.定義
我們先看一個直角三角形：
我們對於銳角\(∠A,∠C\)定義幾個函式\(\sin\)（正弦）,\(\cos\)（餘弦）,\(\tan\)（正切）：\(\sin\)為對邊與斜邊的比值，\(\cos\)為鄰邊與斜邊的比值，\(\tan\)為對邊與鄰邊的比值。
（注意三角函式是以角度為自變數的函式。）
或者形式化的說：
\(\sin A=\dfrac{a}{b},\cos A=\dfrac{c}{b},\tan A=\dfrac{a}{c}\)
\(\sin C=\dfrac{c}{b},\cos C=\dfrac{a}{b},\tan C=\dfrac{c}{a}\)
由上述定義可得：
\(\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{b}}=\dfrac{a}{c}=\tan A\)
\(\sin^2 A+\cos^2 A=(\dfrac{a}{b})^2+(\dfrac{a}{c})^2=\dfrac{a^2+c^2}{b^2}=1\)
\(\sin \alpha=\cos(90°-\alpha)\)
2.三角函式特殊值
由上述定義可以得到一些特殊角的三角函式值：
（顯然\(\tan90°\)不存在）
以上\(\sin,\cos\)值讀者可以自己嘗試著畫三角形按定義得到（比如等腰直角三角形的邊之比是\(1\: 1\:\sqrt{2}\)
3.練習
現在你已經掌握了三角函式，快來解題吧！
練習1
已知\(∠B=90°，∠A=\theta,AC=x\)，求\(AB,CB\)
解：
\(AB=AC\times\dfrac{AB}{AC}=x\cos \theta\)
\(CB=AC\times\dfrac{CB}{AC}=x\sin \theta\)
練習2
已知\(\tan \alpha =2\)，求\(\dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha-\cos\alpha}\)
解：
原式
\(=\dfrac{\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}\)
\(=\dfrac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)
\(=\dfrac{2+1}{2-1}\)
\(=3\)
練習3
已知\(\tan \alpha =2\)，求\(\sin^2\alpha\)
解：
原式
\(=\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}\)
（\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)）
\(=\dfrac{\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}\)
\(=\dfrac{\tan^2\alpha}{\tan^2\alpha+1}\)
\(=\dfrac{4}{4+1}\)
\(=\dfrac{4}{5}\)
任意角和弧度制
1.任意角
我們重新定義一個角：
在一個平面直角座標系中，以\(x\)軸正半軸為一條邊（我們稱為始邊），逆時針旋轉一個角度，最終得到一個邊（我們稱為終邊），這個始邊和終邊構成了一個角，它的角度就是旋轉的角度。
顯然一個角的始邊和終邊確定時角度不確定（因為我們不知道始邊旋轉了幾圈），而角度確定時始邊和終邊是確定的。
我們把終邊落在第一象限的角稱為第一象限角，其餘象限同理。
顯然對於始邊和終邊都確定的角，設始邊和終邊的夾角為\(x°\)，則與其始邊和終邊都相同的角度為\(x°+360°\times k(k\in \Z)\)，即多轉\(360°\)仍會回到原位。
2.弧度制
我們以前一直用度數來表示一個角的大小，但\(1°\)是人為規定的不夠優美，所以我們重新定義一個單位：弧度(rad)為當前角度所對弧長與半徑的比值
據此我們可得到「度」和「rad」之間的關係：
設當前角為\(x°\)，則所對應的弧度等於
\(\dfrac{\dfrac{x}{360} \times 2\pi r}{r}=\dfrac{x}{180}\pi(rad)\)
所以易得一些常見角度的弧度表示：
\(30°=\dfrac{\pi}{6}\)
\(45°=\dfrac{\pi}{4}\)
\(60°=\dfrac{\pi}{3}\)
\(90°=\dfrac{\pi}{2}\)
\(180°=\pi\)
\(360°=2\pi\)
注意書寫角度時若使用弧度制則可以省略單位rad，但使用°則不能。
所以我們可以得到各個象限角的範圍：
第一象限角：\((2k\pi,2k\pi+\dfrac{\pi}{2})(k\in \Z)\)
第二象限角：\((2k\pi+\dfrac{\pi}{2},2k\pi+\pi)(k\in \Z)\)
第三象限角：\((2k\pi+\pi,2k\pi+\dfrac{3}{2}\pi)(k\in \Z)\)
第四象限角：\((2k\pi+\dfrac{3}{2}\pi,2k\pi+\pi)(k\in \Z)\)
本文從此往後大多使用弧度制討論角的大小，建議讀者熟悉此段
那麼就會有個問題：弧度制有什麼用呢？為什麼我們要捨棄原有的制度重新定義一種計量方式呢？
我們可以注意到在弧度制裡面所有的角度都和實數進行了一一對應，那麼也就為下面的任意角三角函式提供了支援。
任意角三角函式
1.定義
顯然如果照我們以前用直角三角形來定義三角函式的話定義域只有\([0,\dfrac{\pi}{2}]\)，所以我們重新定義三角函式：
在一個平面直角座標系（如圖）中，以\(O\)為圓心作半徑為\(r\)的圓（我們稱\(r=1\)的圓為單位圓）。在這個圓上任取一點\(P(x,y)\)，定義\(PO\)與\(x\)軸正半軸夾角\(\theta\)的三角函式值為：
(此圖中\(x=h,y=g\))
\(\sin\theta=\dfrac{y}{r}\)
\(\cos\theta=\dfrac{x}{r}\)
\(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\)
顯然當\(P\)在第一象限即\(\theta\)為第一象限角時，三角函式的定義與之前相同，但是在平面直角座標系中定義三角函式就使得其可以不受直角三角形的限制，擴充套件到任意象限角。
顯然對於不同象限的角，\(\sin,\cos,\tan\)的值的正負是不同的：
在第一象限中，\(x>0,y>0,r>0\)，所以\(\sin\)為正，\(\cos\)為正，\(\tan\)為正；
在第二象限中，\(x<0,y>0,r>0\)，所以\(\sin\)為正，\(\cos\)為負，\(\tan\)為負；
在第三象限中，\(x<0,y<0,r>0\)，所以\(\sin\)為負，\(\cos\)為負，\(\tan\)為正；
在第四象限中，\(x>0,y<0,r>0\)，所以\(\sin\)為負，\(\cos\)為正，\(\tan\)為負；
方便記憶，我們可以說從第一到第四象限符號為正的有：全部，正弦，正切，餘弦，所以我們可以用“全正切餘”來記憶 默唸114514遍就記下來力
2.誘導公式
顯然我們有了任意角及其三角函式的定義，那麼如果要計算\(\sin 114514°\)，顯然不容易計算。我們希望使得自變數是我們熟悉的值，於是我們有了「誘導公式」
顧名思義，誘導公式有「誘導」的作用，在這裡就是把任意角誘導到第一象限角。
先來個問題：\(\sin 2\pi\)等於多少？
顯然\(2\pi=0+2\pi\)，即角度為\(0\)的角旋轉了一圈，所以\(2\pi\)的終邊和\(0\)的終邊相同，那麼\(\sin 2\pi=\sin 0=0\)（\(\cos\)同理）
就此我們得到了第一組誘導公式：
\[\sin (\alpha+2\pi)=\sin\alpha \]\[\cos (\alpha+2\pi)=\cos\alpha \]（本段只討論\(\sin\)和\(\cos\)的誘導公式，其餘如\(\tan,\sec,\csc\)等都可以通過\(\sin\)和\(\cos\)推出來）
顯然對於任意角我們都可以使用以上公式將其轉化為\([0,2\pi)\)之中的角。
接下來我們考慮如何將二、三、四象限的角誘導到第一象限：
\(\sin (\alpha+\pi)=?\ (\alpha \in (0,\dfrac{\pi}{2}))\)
我們迴歸任意角三角函式的定義：\(\alpha\)加上\(\pi\)就相當於\(\alpha\)的終邊和單位圓的交點（不妨設為\(P(x_1,y_1)\)）繞原點作中心對稱得到點\(Q(x_2,y_2)\)。顯然\(x_2=-x_1,y_2=-y_1\)，根據三角函式的定義有：
\[\sin (\alpha+\pi)=\dfrac{y_2}{r}=-\dfrac{y_1}{r}=-\sin \alpha \]\[\cos (\alpha+\pi)=\dfrac{x_2}{r}=-\dfrac{x_1}{r}=-\cos \alpha \]這樣我們就得到了第二組誘導公式；
我們繼續考慮：
\(\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=?\ (\alpha \in (0,\dfrac{\pi}{2}))\)
我們畫個圖：
其中\(B(x,y)\)
根據初二知識可知\(BC=y=OE,OC=x=DE\)，所以\(D(-y,x)\)，所以有：
\[\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{x}{r}=\cos\alpha \]\[\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{-y}{r}=-\sin\alpha \]後面給大家留個思考題:
\[\sin(\alpha + \dfrac{3}{2}\pi)=? \]\[\cos(\alpha + \dfrac{3}{2}\pi)=? \]同樣可以用上述方法畫圖求解。
那麼問題來了：怎麼記憶誘導公式呢？
世上普遍流傳著非常有名的一句話：
奇變偶不變，符號看象限
那麼這句話什麼意思呢？
比如對於\(\sin(\alpha+k\pi)\)，如果\(k\)是\(\dfrac{1}{2}\)的奇數倍那麼\(\sin\)就要變成\(\cos\)，\(\cos\)就要變成\(\sin\)反之不變，這就是「奇變偶不變」；
然後我們把\(\alpha\)當作第一象限角，看\(\alpha+k\pi\)在第幾象限，最終結果的符號就是該象限角的\(\sin\)或\(\cos\)的符號。這就是「符號看象限」。
說著有點複雜？
舉個例子，就用我們的思考題：
\[\sin(\alpha+\dfrac{3}{2}\pi)=? \]首先發現這裡\(k=\dfrac{3}{2}\)，是\(\dfrac{1}{2}\)的三倍，所以\(\sin\)要變成\(\cos\)；
如果\(\alpha\)是第一象限角，那麼\(\alpha+\dfrac{3}{2}\pi\)顯然是第四象限角，在第四象限\(\sin\)為負，所以結果為負；
綜合起來就可以得到：
\[\sin(\alpha+\dfrac{3}{2}\pi)=-\cos\alpha \]3.三角函式的影象
我們將三角函式定義到弧度制上，同時弧度值也和實數一一對應，所以我們就可以對於任意實數得到唯一一個三角函式值，我們以該實數為自變數，三角函式值為因變數，就可以得到三角函式的影象。
同時，我們有\(\sin(\alpha+2\pi)=\sin \alpha,\cos(\alpha+2\pi)=\cos\alpha\)，又\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，所以顯然這三個三角函式都是週期為\(2\pi\)的函式。
帶入值計算即可得到對應的影象：
和差角公式
先提出問題：
\[\cos(\alpha - \beta )=? \]