戴德金-連續性和無理數-第9頁
阿新 • • 發佈：2021-08-19
\(---------------下面是原文第9頁---------------\)
\(\quad\)
\(\quad\quad 如果我們再稍微仔細些研究\alpha>\beta 的情況，顯然，小的這個數\beta 如果是有理數，那麼必然屬於A_{1},因為在A_{1}中\)
\(存在一個數a_{1}'=b_{2}'屬於 B_{2},於是有，不管\beta是B_{1}的最大值還是B_{2}的最小值，都有\beta\le a_{1}',因此\beta屬於A_{1}.\)
\(同理,很顯然，由\alpha>\beta,可知\alpha屬於B_{2},因為\alpha\geq a_{1}'。結合上述兩點，可得下面結果，如果一個切割是由數\alpha產生，\)
\(那麼任何一個有理數，如果小於\alpha的數，劃分於A_{1}，否則劃分於A_{2};如果\alpha是有理數，那麼它自己可以隨意劃歸於A_{1}或A_{2}\).
\(\quad\quad 最終，我們得到：若\alpha>\beta,即，如果有無窮多數，屬於A_{1}，但是不屬於B_{1},那麼必然有無窮多數，既不同\)
\(於\alpha也不同於\beta;每個這樣的數c都小於\alpha，因為它屬於A_{1}；同時c>\beta,因為c屬於B_{2}\)
\(\quad\quad\quad\quad V\)
\(\quad\quad\quad 實數域的連續性\)
\(作為前述特性產物，包含全體實數的系統R，建立了一個佈局良好的一維域；這一切都是為了證明如下的結論：\)
\(I.若\alpha>\beta,且\beta>\gamma,則\alpha > \gamma .我們說\beta在\alpha和\gamma之間\)
\(II.若\alpha和\gamma是兩個不同的數，那麼此二數之間有無窮多數\beta存在；\)
\(III.若\alpha是任意一個有限數，那麼實數域R被分成A_{1}和A_{2}兩類，每個類都包含無數多數，第一類A_{1}包含所有小於\)
\(\alpha的數，第二類A_{2}包含所有大於\alpha的數，\alpha可以被任意歸入任何一類，且相應成為A_{1}類的最大值或A_{2}類的最小值；\)
\(不管是上述哪一種情況，都會得到這樣的結果：系統R被分成兩類，第一類裡的所有數，都小於第二類的所有數；並且我們說這個分割是\alpha產生的；\)
\(\quad\quad 為簡潔起見，也為了避免讓讀者太累，我把前面用的那些定理的證明放在了後面。\)
\(\quad\quad 除了上述特性，域R還有連續性；即，下面的定理成立：\)
\(\quad IV.若包含全體實數的系統R被分成兩部分A_{1}和A_{2},使得A_{1}中的所有數均小於和A_{2}中所有數，那麼，\)
\(有且只有一個數能產生這樣的分割；\)
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