【介紹】

• 莫隊\(\approx\)優化的暴力

【問題引入】

• 序列，多次查詢區間內不同的數的個數。

• 序列長度和查詢\(3 \times 10^4\)。

【解決】

方法1：暴力1

• 每次查詢開一個桶，掃一遍查詢區間，統計答案（若新增一個未出現過的數，則答案\(+1\)）。

• 時間複雜度：\(O(nq)\)。

方法2：暴力2

• 考慮利用上一次查詢的結果。

• 在上一次查詢基礎上，通過移動左右端點，得到當前查詢的區間（刪除一個數後，若其出現次數變為\(0\)，則答案\(-1\)）。

• 時間複雜度：最差\(O(nq)\)。

方法3：莫隊

• 在暴力\(2\)的基礎上，通過調整查詢的順序，優化時間複雜度。

• 將序列等分成\(\sqrt n\)塊。

• 將查詢按左端點所在塊編號排序（第一關鍵字），若左端點在同一塊，則按右端點排序（第二關鍵字）。

• 當n,q同級時，時間複雜度：\(O(n \sqrt n)\)。

【莫隊時間複雜度證明】

左端點：兩次查詢間的移動次數\(O(\sqrt n)\)，共\(q\)次查詢。所以總移動次數\(O(q \sqrt n )\)。

右端點：對於每塊內的查詢，移動次數\(O(n)\)，共\(\sqrt n\)塊。所以總移動次數\(O(n \sqrt n)\)。