你以為，斑馬的黑白條紋，貝殼的複雜花紋，都只是隨便長長？

並不！

這些自然界的重複圖案，有相當一部分能用一組方程式描述。

聽上去有些離譜，但確實是圖靈本人搞出來的 ——60 年前，他對大自然進行一番研究後，給出了這組方程式。

▲反應擴散方程的一般形式

後來人們發現，這組方程式適用於不少自然界的圖案，包括斑馬、貝殼、魚類、豹的條紋等。

▲圖源：維基百科

他們給這類圖案統一起了個名字，叫圖靈斑圖（turing pattern）。

但無論是斑馬、豹、貝殼還是魚類，基本都屬於巨集觀尺度的圖案，微觀尺度上的圖靈斑圖研究少之又少。

現在，來自斯坦福等高校的科學家終於發現，一種晶體生長的微觀紋路，也可以用圖靈斑圖來描述：

這種晶體名叫鉍，它在特殊條件下的原子生長模式，與圖靈方程式預測的形態非常相似，目前研究成果已經刊登到 Nature Physics 上

▲鉍

沒錯，僅憑一組公式預測圖案的圖靈，60 年後再次跨越了微觀和巨集觀的界限。

“圖靈斑圖”是什麼？

時間回溯到 1952 年。

艾倫・圖靈（Alan Mathison Turing）在利用計算機進行大量數學運算後，給出了一個叫做“反應擴散方程”（reaction–diffusion）的公式，即開頭的方程組。

公式認為，任何重複的自然圖案，都是通過兩種具有特定特徵的事物（如分子、細胞）進行相互作用而產生的。

兩種事物的特定特徵為：速度不同、能在空間內傳播、其中一種是催化劑。這種催化劑，能自動啟用、並隨後產生抑制劑，使得它比催化劑的傳播速度更快，導致催化劑中途停止，最終生成相應的圖案。

只需要對反應擴散方程的不同條件進行約束，這兩種事物，就能自發地組成斑紋、條紋、環紋、螺旋或斑點等圖案。

但這個從數學層面推匯出來的方程式，一開始並沒有得到多少生物學家的認可。

直到數十年後，生物學家們才發現，圖靈的反應擴散方程“意外地好用”。

雖說從生物學原理來看，圖靈的反應擴散方程理論只能解釋極少數圖靈斑圖；但從數學角度來看，它確實能對不少複雜的圖案紋路進行描述和預測。

此前對於圖靈斑圖的研究，大多集中於巨集觀層面，從微觀尺度應用反應擴散方程的研究少之又少。

然而，科學家們前段時間發現，在微觀層面的晶體生長中，也會出現圖靈斑圖現象。

原先他們以為這是個巧合，但在進行研究後發現，圖靈斑圖現象是真的，而且能用圖靈的反應擴散方程進行生長預測。

微觀的鉍原子生長

來自斯坦福大學的研究人員，最初試著讓鉍原子在二硒化鈮表面長出一層薄薄的原子層。

但鉍原子沒按他們的思路走，反而在二硒化鈮表面長成了一團不均勻的塊狀物。

斯坦福大學的研究人員感到困惑，便將這種現象展示給了日本電氣通訊大學的同行。

同行看後表示：有點像圖靈斑圖。

一開始他們沒有深究這種可能性，畢竟鉍原子生長似乎不符合圖靈的反應擴散方程理論：必須要有分子等實體做催化劑。

然而，當他們試著用反應擴散方程模擬鉍晶體生長圖案時，卻發現預測結果與生長紋路高度相似：

▲左邊為鉍原子的實際生長情況

研究人員們又回過頭去分析鉍原子在二硒化鈮表面的生長情況，發現如果將反應擴散方程理論中對兩類事物限定的“分子”條件改成“位移”，就能解釋這種現象。

也就是說，鉍原子在二硒化鈮表面的垂直位移是催化劑，而水平位移是抑制劑。

這樣一來，就能準確預測鉍原子在二硒化鈮表面的生長情況了。

這篇論文的一作 Yuki Fuseya，日本電氣通訊大學助理教授，二作 Hiroyasu Katsuno，則來自日本北海道大學。

另外兩名作者 Kamran Behnia 和 Aharon Kapitulnik，則分別來自巴黎文理研究大學和斯坦福大學。

所以，預測微觀的晶體生長有什麼用？

由於晶體具有各向異性，即全部或部分物理、化學等性質隨方向的不同而有所變化，因此會在不同方向上呈現出差異性。

如果能預測甚至影響微觀晶體在某個方向上生長，就能將那個方向的物理/化學效能發揮得更好，例如材料的催化效能等。

下一步，作者們希望用觀察鉍獲取的經驗，來進一步觀察錫等原子的生長情況。

圖靈斑圖在微觀世界還會繼續出現嗎？讓我們拭目以待。

論文地址：

https://www.nature.com/articles/s41567-021-01288-y

參考連結：

• https://www.quantamagazine.org/physicists-spot-turing-patterns-in-a-tiny-crystal-20210810/

• https://www.dna.caltech.edu/courses/cs191/paperscs191/turing.pdf

• https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/mavt/process-engineering/separation-processes-laboratory-dam/documents/education/RCS_2020/Crystallization/Classes/2020_A5_crystal_growth.pdf