二進位制小數和IEEE浮點標準
二進位制小數
首先複習進位計數制的要素：
數碼：用來表示進位制數的元素。比如
- 二進位制數的數碼為：0,1
- 十進位制數的數碼為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
- 十六進位制數的數碼為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
基數：數碼的個數。比如
- 二進位制數的基數為2
- 十進位制數的基數為10
- 十六進位制數的基數為 16
位權：數制中每一固定位置對應的單位值稱為位權。
- 二進位制第2位的位權為\(2^1\)，第3位的位權為\(2^2\)：\((10010.1110)_2 = 1 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 + 1 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} + 1 * 2^{-3} + 0 * 2^{-4} = 16 + 2 + 1/2 + 1/4 + 1/8\)
- 十進位制第2位的位權為\(10^1\)，第3位的位權為\(10^2\)：\((123.45)_{10}＝1×10^2+2×10^1+3×10^0+4×10^{-1}+5×10^{-2}\)
- 十六進位制第2位位權為\(16^1\)，第3位的位權為\(16^2\)：\((BAD)_{16} =11× 16^2+10×16^1+13×16^0=(2989)_{10}\)
總結來說
十進位製表示公式為：
二進位製表示公式為：
- 注意：二進位制小數不像整數一樣，只要位數足夠，它就可以表示所有整數。假設我們僅考慮有限長度的編碼，那麼二進位制小數無法精確的表示任意小數，比如十進位制小數0.2，我們並不能將其準確的表示為一個二進位制數，只能增加二進位制長度提高表示的精度。如下圖所示，二進位製表示十進位制的0.2只能無限接近，卻永遠無法精確表示0.2。
IEEE 浮點表示
於是為了在計算機中準確表示浮點數，IEEE指定了一條標準來規範表示浮點數，若不對浮點數的表示作出明確的規定，同一個浮點數的表示就不是唯一的。例如\((1.75)_{10}\)可以表示成\(1.11×2^0\)，\(0.111×2^1\)，\(0.0111×2^2\)等多種形式。
IEEE，電氣和電子工程師協會( 全稱是Institute of Electrical and Electronics Engineers)是一個國際性的電子技術與資訊科學工程師的協會，是目前全球最大的非營利性專業技術學會，IEEE 754 標準是IEEE二進位浮點數算術標準（IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic）的標準編號。
浮點數的儲存格式
IEEE754 標準中規定：
- Float 單精度浮點數，用 1 位表示符號，用 8 位表示階碼，用 23 位表示尾數，一共32位。
- double 雙精度浮點數，用 1 位表示符號，用 11 位表示階碼，52 位表示尾數，一共64位。
階碼：階碼是整數，階符和 m 位階碼的數值部分共同反映 浮點數的表示範圍及小數點的實際位置 ，常用移碼或補碼錶示。IEEE754標準中採用移碼的表示形式。
- 移碼：移碼（又叫增碼）是對真值補碼的符號位取反，一般用作浮點數的階碼，引入的目的是便於浮點數運算時的對階操作。
尾數：數符表示浮點數的符號，尾數的數值部分的位數 n 反映浮點數的 精度 ，常用原碼或補碼錶示。IEEE754標準中採用原碼的表示形式
浮點數的表示格式
浮點數表示法是指以適當的形式將比例因子表示在資料中，讓小數點的位置根據需要而浮動。這樣，在位數有限的情況下，既擴大了數的表示範圍，又保持了數的有效精度。
浮點數的真值為：
\[x=(−1)^S×2^e×M
\]
其中
- S代表符號位，取值為0或1
- e代表指數，E代表階碼
- \(e=E-127(Float)\)，\(e=E-1023(Double)\)
- \(E=e_移-1\)
- 計算指數e時，對階碼E的計算採用原碼的計算方式，因此單精度浮點數(Float)的階碼E為8位的取值範圍是0到255。根據規定，階碼E既不全為0（數值0），也不全為1。
- 所以單精度下8位階碼E的規格化的浮點數階碼範圍是1至254，因此指數e的範圍則為-126至127。
- 雙精度下11位階碼E的規格化的浮點數階碼範圍是1至2046，所以指數e範圍為-1022至1023。
- M代表尾數，決定浮點數的精度，它是一個二進位制小數，表示為\(M=1+f\)
- 其中\(f\)是n 位的尾數所表示的小數值，滿足\(0\le f<1\)，其二進位製表示為：\(\small {0.f_{n-1}f_{n-2}\cdot \cdot \cdot f_{1}f_{0}}\) ，也就是二進位制小數點在最高有效位的左邊。
- 由於是\(1+f\)，所以我們又可以看成\(\small {1.f_{n-1}f_{n-2}\cdot \cdot \cdot f_{1}f_{0}}\)
- 所以尾數的範圍為\(1 \le M < 2\)
由上面的每個對應位置的範圍，我們可以求得
- 單精度最小規格化正數為：\(x=(-1)^0×2^{-126}×1\)
- 單精度最大規格化正數為：\(x=(-1)^0×2^{127}×(2-2^{-23})\)
例題
a：
0,01，其中0代表是正數，所以原碼和補碼相同，01→\(0*2^1+1*2^0=1\)，所以階碼為+1
1.1001，其中1代表是負數，所以原碼為補碼末尾減一(1000)，按位取反(0111)，對應真值為-0.0111=\(-(2^{-2}+2^{-3}+2^{-4})=-\frac{7}{16}\)
所以\(a=2^1×(-0.0111)=2^1×(-\frac{7}{16})=-\frac{7}{8}\)
b:
0,01，對應真值為+1
0.01001對應真值為+0.01001=\(+(2^{-2}+2^{-5})=+\frac{9}{32}\)
所以\(b=2^1×(+0.01001)=2^1×\frac{9}{32}=\frac{9}{16}\)
規格化單精度浮點數
為了提高資料的表示精度同時保證資料表示的唯一性，需要對浮點數做規格化處理。
在計算機內，對非0值的浮點數，要求尾數的絕對值必須大於基數R(這裡R=2)的倒數，即\(|M|≥1/R\)
0.5規格化
0.5的二進位制為0.1
符號位S為0，指數為\(e=-1\)（為啥？我猜是因為0.1中1的最高位是-1），規格化後尾數為1.0（為啥？因為M最小為1.0）。
單精度浮點數尾數域共23位，右側以0補全，尾數域：
\[M=[000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2
\]
階碼E:
\[E=[−1]_移−1=[0111\ 1111]_2−1=[0111\ 1110]_2
\]
對照單精度浮點數的儲存格式，將符號位S，階碼E和尾數域M存放到指定位置，得0.5的機器碼：
\[0.5=[0011\ 1111\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2
\]
1.5規格化
1.5的二進位制為1.1
符號位為0，指數\(e=0\)（為啥？我猜是因為1.1中1的最高位是0），規格化後尾數為1.1（為啥？因為二進位制為1.1，所以M就是1.1，如果二進位制是1111，M就是1.111）。
尾數域Ｍ右側以0補全，得尾數域:
\[M=[100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2
\]
階碼E：
\[E=[０]_移-1=[1000 0000]_2-1=[0111 1111]_2
\]
得1.5的機器碼：
\[1.5=[0011\ 1111\ 1100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2
\]
5規格化
5的二進位制為101
符號位為0，指數為\(e=2\)，規格化後尾數為1.01（為啥？因為二進位制為101，所以M就是1.01）。
單精度浮點數尾數域共23位，右側以0補全，尾數域：
\[M=[010\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2
\]
階碼E:
\[E=[2]_移−1=[1000\ 0010]_2−1=[1000\ 0001]_2
\]
得5的機器碼：
\[5=[0100\ 0000\ 1010\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2
\]
參考文獻
浮點數的表示 -- 基本格式、規格化、表示範圍_starter_____的部落格-CSDN部落格_浮點數規格化表示