博弈論基礎介紹：

巴什博弈：

例子：

一堆石子 \(n\) 個，任意取 \([1-m]\) 個，問先手必贏/輸。

分析：

分類進行考慮：

1. \([1,m]\) 個，先手必贏。
2. \(m+1\) 個，先手必輸。
3. \([m+2,2m]\) 先手可以拿走幾個，剩下 \(m+1\) 個，先手必勝。

我們發現，面臨 \(m+1\) 個石子的人一定失敗。

進行推廣：設當前石子數為 \(n=k*(m+1)+r\), 先手先拿走 \(r\) 個，無論後手怎麼拿 \(x\) 個，先手一定可以拿走 \(m+1-x\) 個，這樣後手一定失敗。

反之，當 \((m+1)|n\) ，先手一定失敗。

因此，只要不滿足 \((m+1)|n\)

\(nim\) 遊戲

例子：

有 \(n\) 堆石子，兩個人可以從任意一堆石子中拿任意多個石子(不能不拿)，沒法拿的人失敗。問誰會勝利。

定理：

當 \(n\) 堆石子的數量異或和等於 \(0\) 時，先手必敗，否則先手必勝.

證明：

必敗狀態：我們設 \(a[i]\) 表示 \(i\) 堆石子的數量。當前局面為：

對於先手來說，如果當前局面為：

那麼一定存在 \(a_i\) ,二進位制表示在最高位 \(k\) 上為 \(1\)。

我們將 \(a_i⊕k\) ，這樣就變成了：

我們只需要保證給後手的人所有石子異或值為0，即可獲勝，此時先手必勝。

反之，一開始異或值為 \(0\) ，此時先手必敗。

特殊情況：

有些題目，只能選擇 \([1-m]\) 個石子，這就是 \(nim+bash\) ,只需要將所有的石子堆的石子數目同時模 \(m+1\)，然後異或運算即可。

for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=N;i++) ans=ans^a[i];
ans==0?printf("No\n"):printf("Yes\n");