快速排序

分割槽(partition)

給一個陣列arr和一個num，要求大於num的在左邊，小於num的在右邊，要求時間複雜度是O(N)，空間複雜度是O(1)。

虛擬碼：

1、給一個指標i,初始位置是0,表示當前指向的位置
2、進行分割槽操作，初始化 <= 區的位置在 -1
3、當前數 <= num 時，把當前數和 <= 區的下一個數交換，<= 往前走一個位置，當前數往前跳一個。
4、當前數 > num 時，直接往前跳一個。
5、重複3、4步驟，直到整個陣列遍歷完成。
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荷蘭國旗問題

現有紅白藍三個不同顏色的小球，亂序排列在一起，請重新排列這些小球，使得紅白藍三色的同顏色的球在一起。這個問題之所以叫荷蘭國旗問題，是因為我們可以將紅白藍三色小球想象成條狀物，有序排列後正好組成荷蘭國旗。

<==>其實這個問題等價於

給你一個陣列 arr和一個num。要求大於 num 在左邊,等於 num 在中間，小於 num 的在右邊。要求時間複雜度是 O(N)。空間複雜度是 O(1)

虛擬碼：

1、分割槽為 <區、>區
2、用指標 i 表示當前值，指標 less 表示 < 區的值(初始是 -1)，指標 more 表示 > 區的值(初始是arr.length)
3、當前值 < num。把 i和 < 區的後一個數交換，i往前走，<區往前走
4、當前值 > num。把 i和 > 區的前一個樹交換，< 區往前走，i 不動
5、當前值 = num。i++
6、重複3、4、5直到遍歷完成
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leetcode題目地址

經典快排

主要應用了partiton的思想。

經典快排程式碼 改進後的快排

時間複雜度

O(N^2)
因為會出現最壞情況。比如 1,2,3,4,5,6,7,8,9
第一次parition。  1,9              其中partition中迴圈是9次
第二次parition 8作為哨兵 1,9          8

這是個等差數列 N + N-1 + .... + 1
(N+1)*N/2 ~ O(N^2)
所以時間複雜度是 O(N^2)

最好的時候是通過partition分割槽的值是數值的中位數
這樣通過master公式得出時間複雜度是 O(Nlog
 
N)
T(N) = 2T(N/2) + O(N) ~ O(N)

改進方式:
在通過隨機性最後讓陣列中別的值取代，這樣時間複雜度是 O(NlogN)

綜上:
經典快排的時間複雜度是 **O(N^2)**
改進的快排時間複雜度是 **O(NlogN)**

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空間複雜度

O(logN)
因為在操作中要把左右位置記住，下次partition時才能從相應的位置開始，
而這些位置是的數量就是一個樹的高度，所以時間複雜度是 O(logN)。
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穩定性

[ 2,1]  由演演算法思想得知，在排序過程中兩個2是會互換位置的，這個演演算法是不穩定的。
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優化

1、在哨兵處增加隨機性，可以使得快排的時間複雜度降到O(NlogN)
2、partition 時使用荷蘭國旗方式分成三段分割槽
3、快排數量較少時，使用其他普通的排序方式(在快排的過程是使用其他排序方式)。
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改進後的快排

歸併排序

merge

給兩個陣列各自都是有序的，如何使得全部有序？

虛擬碼：

[2,7]   [5,9,10]

1、準備兩個指標i、j，分別指向兩個陣列的頭部。再準備一個輔助陣列help，臨時儲存排好序的部分陣列。指標 n 指向輔助陣列0位置。
2、把 i 指標指向的值和 j 指標指向的值進行比較，誰小複製誰到輔助陣列help。同時 n 和 更小的指標往前走一步。直到指標i或者指標j到陣列的末尾
3、指標i 或者 指標 j 退出迴圈。把還沒跑到指標尾部的資料複製到 help 陣列中。
4、返回 help
複製程式碼

merge

歸併排序邏輯

思想:

歸併排序是藉助上面 merge 的思想: 先把陣列分成左右兩部分，先讓左邊有序，
再讓右邊有序，最後整體有序。在 merge 中依次比較左右兩部分的值，
誰小 copy 誰到 help 陣列。然後在把 help 陣列複製到原陣列相應的位置。

複製程式碼

mergeSort

時間複雜度是 O(NlogN)，因為這個排序可以表示成 T(N) = T(N/2) + O(N)。

根據 master 公式這個時間複雜度是 O(NlogN)。

空間複雜度是 O(N)。因為在 merge 中有個 help 陣列申請。

下面問題是歸併排序思想的應用。

小和問題

在一個陣列中， 每一個數左邊比當前數小的數累加起來， 叫做這個陣列的小和。 求一個陣列的小和。

例子：

對於[1,5]
1左邊比1小的數， 沒有；
3左邊比3小的數， 1；
4左邊比4小的數， 1、 3；
2左邊比2小的數， 1；
5左邊比5小的數， 1、 3、 4、 2
所以小和為1+1+3+1+1+3+4+2=16
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xiaohe

逆序對問題

在陣列中的兩個數字，如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對,輸入一個陣列,求出這個陣列中的逆序對的總數P。

比如在陣列 [1,5] 中總共有這兩個逆序對[3,2]、[4、2] 
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code

逆序對問題2

與上題一樣，也是在 merge 中過程中操作

reverse-pairs

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堆排序

堆排序

氣泡排序

氣泡排序思想程式碼

比較前一個位置的數如果比後一個大，就交換，否則不交換。
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氣泡排序複雜度分析

1. 演演算法時間是時間複雜度為O(n²)
2. 空間複雜度為O(1)
3. 選擇排序是穩定的(如果有相等元素，不交換，就可以做到穩定)

選擇排序

選擇排序思想程式碼

1、從待排序序列中，找到關鍵字最小的元素；起始假定第一個元素為最小
2、如果最小元素不是待排序序列的第一個元素，將其和第一個元素互換
3、從餘下的 N - 1 個元素中，找出關鍵字最小的元素，重複1，2步，直到排序結束。
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選擇排序複雜度分析

1. 演演算法時間是時間複雜度為O(n²)
2. 空間複雜度為O(1)
3. 選擇排序是不穩定的( 不穩定演演算法，比如陣列 [5,1],依次排序過後，1，5交換位置。兩個5的相對次序發生了變化，因此是不穩定性的)

插入排序

插入排序思想程式碼

1、從第一個元素開始，該元素可以認為已經被排序
2、取出下一個元素，在已經排序的元素序列中從後向前掃描
3、如果下一個元素比掃描的元素小，交換。否則，跳出迴圈，繼續下次迴圈的排序
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插入排序複雜度分析

1. 時間是時間複雜度為O(n²)。
2. 空間複雜度為O(1)
3. 插入排序是穩定的(對於陣列[2,4],當4插入有序陣列2，4，6時，當相等時，就停止，不做處理，可以做到穩定性)

總結