\(\texttt{Contest 100}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{*3 or /2}\)

每次操作對長度為 n 的序列裡的每個元素 \(\times 3\) 或 \(\div 2\) ，每次操作至少要一次 \(\div 2\)，求最多的運算元

因為 \(\times 3\) 其實對結果沒有影響，所以我們只要數每個數有幾個質因子 \(2\) 再求和即可。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Patisserie ABC}\)

有 \(n\) 種蛋糕，有三種屬性：\(a, b, c\)，要選 \(m\) 種蛋糕，使得 \(m\)

種蛋糕的每種屬性的絕對值之和最大，問最大是多少

最後組成的可能只有八種： {a, b, c}, {a, b, -c}, {a, -b, c}, {a, -b, -c}, {-a, b, c}, {-a, b, -c}, {-a, -b, c}, {-a, -b, -c}

於是對目標加和是負數的整個序列取反（取絕對值），取 \(\max\) 即是答案。

\(\texttt{Contest 101}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{Minimization}\)

一個 \(n\) 的全排列，每次選擇長度為 \(m\) 的子段，把所有元素變成子段中的最小值。求把 \(n\)

個元素變成一樣的操作次數

顯然，最後剩下的所有元素即是序列中的最小值，我們將如何考慮從最小值伸展出去。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Snuke Numbers}\)

\(\texttt{咕}^{\texttt{咕}_\texttt{咕}}\)?

\(\texttt{Contest 102}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{Linear Approximation}\)

選擇一個 \(b\) ，使得 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\text{abs}(A_i - (b+i))\) 最小。

可以先處理出 \(A_i - i\)

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Equal Cut}\)

把一個長度為 \(n\) 的序列分成 \(4\) 段，使得最大和與最小和之差最小。

先做一遍字首和，前 \(i\) 個值的和標記為 \(sum_i\)

我們用 \(P_1, M, P_2(P_1 < M<P_2)\) 對他們進行分割，四段得出的值則如：

\(val_1 = sum_n - sum_{P_{2}}\)

\(val_2 = sum_{P_{2}} - sum_{Med}\)

\(val_3 = sum_{Med} - sum_{P_{1}}\)

\(val_4 = sum_{P_{1}}\)

我們嘗試列舉 \(M\) ， 則只要使得 \(\text{abs}(val_1 - val_2)\) 與 \(\text{abs}(val_3 - val_4)\) 儘量小，過程中對 \(ans\) 取 \(\min\) 即可。

隨著 \(M\) 的增大，若 \(P_1\) 與 \(P_2\) 不變，則 \(val_2\) 會越來越小，而 \(val_3\) 會越來越大，兩個差值也會越來越大，所以 \(P_1\) 與 \(P_2\) 在過程中是單調不減的。

於是調整 \(P_1,P_2\) 實時更新即可。

\(\texttt{Contest 103}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{Modulo Summation}\)

\(f(m) = (m \bmod A_1) + (m \bmod A_2) + \cdots +(m\bmod A_n)\) ， 求 \(f(m)\) 的最大值。

顯然，令 \(p = \text{lcm}\{A_1,A_2\dots A_n\}\) ，則 \(f(p) = 0,f(p-1)=\sum\limits_{i=1}^{n}A_i-1\) ，直接求 \(f(p - 1)\) 即可。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Islands War}\)

一條長度為 \(N\) 的鏈（ \(i\) 與 \(i + 1\) 相交，共 \(N - 1\) 條邊），有 \(M\) 個衝突條件： \(a_i\) 與 \(b_i\) 不連通，求最小需斷掉邊的條數。

口胡演算法：把 \(a_i\) 和 \(b_i\) 看做區間左右端點，求不相交能放置的最多區間。

設已經按右端點排序過的的區間為 \(P\) ，則任意滿足 \(P_i.r \le P_{i + 1}.r\) ，分兩種情況討論：

• 若 \(P_i.r>P_j.l\;(i <j)\) ，則一定可以找一個斷點（在 \([P_i.l,P_i.r] \cap [P_j.l,P_j.r]\) 任意一點）分割，同時滿足兩個條件

• 若 \(P_i.r<P_j.l\;(i < j)\) ， 此時它們的區間交 \([P_i.l,P_i.r] \cap [P_j.l,P_j.r]\) 是沒有元素的，於是要新創一個斷點。

這就轉化成在 \([1,n]\) 這個區間裡能放置的最小不相交區間數。

\(\texttt{Contest 104}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{All Green}\)

一共有 \(D\) 種題目，第 \(i\) 種題目有 \(p_i\) 道，每道分值為 \(100i\) ，把 \(p_i\) 道題目全部做完能多加 \(c_i\) 的分值。求要達到分值 \(G\) 至少要做的題目數。（ \(D \le 10\) ）

直接暴力列舉要做的題目（二進位制最右邊第 \(i\) 位是 \(1\) ，代表第 \(i\) 道題要做），再從大到小貪心即可。

時間複雜度： \(\mathcal{O}(D\cdot2^D)\)

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{We Love ABC}\)

有隻包含字元 A ， B ， C ， ? 的字串，求其中有多少個子串 ABC 。（ ? 可以代替任何字元）

分類討論：

\(\text{if} \;p_i \not=\;?\)

\(\quad\quad f_{i,0/1/2} = f_{i-1, 0/1/2}\)

\(\quad\quad \text{if} \; p_i=a\quad\quad f_{i,0}\leftarrow f_{i,0}+3^{cnt}\)

\(\quad\quad \text{if} \; p_i=b\quad\quad f_{i,1}\leftarrow f_{i,1}+f_{i,0}\)

\(\quad\quad \text{if} \; p_i=c\quad\quad f_{i,2}\leftarrow f_{i,2} +f_{i,1}\)

\(\text{if} \;p_i = \;?\)

\(\quad\quad f_{i,0}\leftarrow f_{i-1,0}\times 3+3^{cnt}\)

\(\quad\quad f_{i,1}\leftarrow f_{i-1,1}\times 3+f_{i,0}\)

\(\quad\quad f_{i,2}\leftarrow f_{i-1,2}\times 3 +f_{i,1}\)

\(\texttt{Contest 105}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{Base -2 Number}\)

把一個數轉化成 \(-2\) 進位制數。

顯然可以使用短除法，但會出現三種餘數： \(1, 0, -1\) 。我們考慮如何處理 \(-1\) 。

\(a\div -2=c\cdots\cdots -1\)

\(\quad-2c-1=a\)

\(=-2c + -2+1\)

\(=-2(c+1)+1\)

\(a\div-2=(c+1)\cdots\cdots 1\)

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Candy Distribution}\)

求長度為 \(n\) 的序列中總和能被 \(m\) 整除的子段個數。

如果 \(\sum\limits_{i=l}^ra_i\equiv0\pmod m\) ，等同於 \(\text{sum}_r-\text{sum}_{l-1}\equiv0\pmod m\) ，於是可以得出 \(\text{sum}_r\equiv\text{sum}_{l-1}\pmod m\) 。

map 實時統計即可。

\(\texttt{Contest 106}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{To Infinity}\)

一個只有 '1'~'9' 的字串 \(S\) ，每過一天 '1' 會變成 '1' ， '2' 會變成 '22' ， '3' 會變成 '333' ， '4' 會變成 '4444' \(\cdots\) 求過了 \(5\times 10^{15}\) 天后第 \(K\) 個字元是什麼。

因為除了 '1' ，其他數字的個數都以指數型增長增加，所以求第 \(10^{18}\) 字元遠遠小於 \(2^{5\times10^{15}}\) 的。所以只要找到前 \(K\) 個字元的第一個不是 '1' 的數，若前 \(K\) 個數字都是 '1' ，則輸出 '1' 即可。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{AtCoder Express 2}\)

有 \(n\) 個區間，給定 \(q\) 個詢問，每次詢問 \(l_i\) 和 \(r_i\) 之間有多少個區間（ \(l_i \le x,y \le r_i\) ）。

先把區間存在數組裡 \(p\) 裡， \(p_{i, j}\) 表示區間 \([l, r]\) 有幾個。

\(dp_{i, j}\) 表示區間 \([i, j]\) 中有幾趟火車，得出如下轉移方程：

\(dp_{i,j}\leftarrow dp_{i+1,j}+dp_{i, j - 1}-dp_{i + 1, j - 1} + p_{i, j}\)

於是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 預處理， \(\mathcal{O}(1)\) 查詢。

\(\texttt{Contest 107}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{Candles}\)

數軸上有 \(n\) 根蠟燭，第 \(i\) 個蠟燭座標為 \(x_i\) 。從 \(0\) 點開始，至少經過 \(k\) 根不同蠟燭的總路程最小值。

容易的出一個結論：

• 設兩點分別為 \(i\) 和 \(j\) 且滿足 \(x_i<0\le x_j\) ，路線肯定是 \(0\rightarrow x_i \rightarrow x_j\) 或者 \(0\rightarrow x_j \rightarrow x_i\) 。

直接暴力出奇跡

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Median of Medians}\)

給你一個長度為 \(n\) 的序列，求每個子段的中位數集合的中位數。

二分答案。 \(\mathcal{O}(\log n)\)

以下是 check ，求子段中位數集合中比 \(\text{mid}\) 大的數是否 \(\ge\left\lceil\dfrac{n}{2}\right\rceil\) ：

• 給原陣列重新賦值：小於 \(\text{mid}\) 賦 \(-1\) ，反之賦 \(1\) 。 \(\mathcal{O}(n)\)

• 做一遍字首和，子段和大於 \(0\) 的說明中位數大於 \(\text{mid}\)。 \(\mathcal{O}(n)\)

• 用樹狀陣列維護比 \(\text{mid}\) 大以 \(i\) 作為右端點的子段的中位數個數，也就是比 \(1\sim i\) 小的字首（ \(\text{sum}_i < \text{sum}_j(i<j),\sum\limits_{p = i + 1}^j A_p > 0\) ），再向 \(\text{sum}_i\) 插入 \(1\) ，即可統計子段中位數大於 \(\text{mid}\) 的個數。 \(\mathcal{O}(n\log n)\)

總時間複雜度： \(\mathcal{O}(n \log^2 n)\)

\(\texttt{Contest 108}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{Triangular Relationship}\)

求 \(a, b, c \le n\) 且 \(k|(a + b) ,k|(b + c) ,k|(a + c)\) ，求這樣的三元組個數。

容易得 \(a=b=c\) 且 \(k|a\) ，則 \(a = b=c=pk\) ，若 \(k \bmod 2 \equiv 0\) ，則有 \(a=b=c=\dfrac{k}{2}+pk\) 。暴力統計。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{All Your Paths are Different Lengths}\)

建一個有向圖，最多 \(20\) 個點， \(60\) 條邊，使得從 \(1\) 到 \(n\) 有 \(L\) 條路徑且長度分別為 \(0\sim L-1\) 。

找到最大的 \(p\) 且 \(2^p-1 \le L\) ，再在 \(i\rightarrow i+ 1\) 各建一條長度為 \(0\) 和長度為 \(2^{i - 1}\) 的邊（相當於二進位制表示法），我們就表示出了長度為 \(0\sim 2^p-1\) 的邊。

剩下的我們在原來基礎上建邊，迴圈執行以下操作：

• 令已建的邊數為 \(k\) ，找到最大的 \(p_1\) 使得 \(k+2^{p_1}\) ，在 \(p_1+1\rightarrow p\) 建權值為 \(k+1\) 的邊。

輸出即可。

\(\texttt{Contest 109}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{Skip}\)

在數軸上，從點 \(x\) 開始每次可以跳 \(d\) 步，求到達指定點的最大 \(d\) 。

對每個點與 \(x\) 的距離求一遍 \(\gcd\) 。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Make Them Even}\)

給定 \(H\times M\) 的矩陣，在 \((i,j)\) 有 \(a_{i,j}\) 個金幣，每次可以將一個金幣給相鄰的格子，且每個格子只能執行一次，輸出時整個棋盤偶數個金幣格子最多的操作。

直接從左上角，找到奇數金幣的格子轉移到右邊或下面，模擬水。

\(\texttt{Contest 110}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{String Transformation}\)

給定字串 \(S\) 和 \(T\) ，每次可以在字串 \(S\) 裡選擇兩個不同的字元 \(c_1\) 和 \(c_2\)，把 \(S\) 中所有 \(c_1\) 替換為 \(c_2\) ， \(c_2\) 替換為 \(c_1\) ，求 \(S\) 能否變成 \(T\) 。

因為如果把 \(c_1\) 連向 \(c_2\) ，最後得到的肯定是 \(k\) 個環。

判斷每個點入度是否 \(>1\) 即可。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Factorization}\)

求 \(n\) 個正整數相乘等於 \(m\) 的個數（數字相同位置不同算不同）。

根據唯一分解定理，已知 \(m = a{_1}^{p_1}\times a{_2}^{p_2} \cdots a{_k}^{p_k}\) 則我們可以對每個 \(a{_i}^{p_i}\) 做一次隔板法，得出方法總數為 \(\sum\limits_{i=1}^{k}\dbinom{p_i+n-1}{n-1}\)

組合數的計算用乘法逆元。（ \(\text{mod}\) 請自寫函式減少常數）

\(\texttt{Contest 111}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(/ \backslash/ \backslash / \backslash /\)

有一個長度為 \(N\) 的序列 \(A\) ，求使得序列滿足 \(A_i = A_{i + 2}, A_i ≠ A_{i + 1}\) 的改變元素次數。

統計奇偶性相同的每個數的出現次數，貪心可得都統一成出現次數最多的數，若兩邊相同則取第二個。

\(\texttt{Contest 112}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{Pyramid}\)

已知 \(h_i = \max\{H - |x_i-CX| - |y_i-CY|, 0\}\) ，問滿足要求的 \(H\) ，\(CX\) ， \(CY\) 。

直接列舉 \(CX\) 和 \(CY\) ，判斷後再輸出。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Partition}\)

構造一個有 \(N\) 個數的正整數序列 \(a\) ，使得 \(\sum\limits_{i=1}^N a_i=m\) 。求出 \(\gcd\limits_{i=1}^N a_i\) 的最大值。

使得 \(\gcd\limits_{i=1}^N a_i\) 最大則滿足 \(\min\limits_{i=1}^N a_i | m\) ， \(m\div \min\limits_{i=1}^N a_i\ge n\) 。

然後就暴力列舉。

\(\texttt{Contest 113}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{ID}\)

\(A\) 國有 \(M\) 個縣和 \(N\) 個市，第 \(i\) 個縣屬於第 \(P_i\) 個市，建立的年份為 \(Y_i\) 。現在想要分給每個縣一個由 \(12\) 位數字組成的編號，如果第 \(i\) 個縣屬於第 \(P_i\) 個市且是第 \(x\) 個創立的，則該縣編號前六位為 \(P_i\)
，後六位為 \(x\) 。試求出所有縣的編號並按輸入順序輸出。

結構體排序練手題。略。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Number of Amidakuji}\)

請見原題

定義 \(dp_{i,j}\) 表示走到 \((i, j)\) 的方案數，則可以從 \((i - 1, j)\) ， \((i - 1, j - 1)\) ， \((i, j + 1)\) 轉移過來。

問題在判斷能不能轉移。

我們列舉上一行的狀態 \(s\) ，如果要從 \((i - 1, j + 1)\) 走過來，前提是 \(s \And 2^j\) ，也就是有路走過來。從 \((i - 1, j - 1)\) 走過來同理。

最後輸出方案數即可。

\(\texttt{Contest 114}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{755}\)

求在 \(1\sim N\) 之間各位數上各有 \(3\) ， \(5\) ， \(7\) 且沒有其他數的數個數

看範圍就應該斷定廣搜。

寫起來是挺好寫（我用 bitset 辣），只要儲存有沒有 \(3\) ， \(5\) , \(7\) ，以及數即可。

小細節不多。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{756}\)

求 \(n!\) 的所有因數中因數有 \(75\) 個的數的個數。

珂以斷定：數一定是 \(k^{74}\) ， \(k^{14}+k{_1}^4\) ， \(k^{24}+k{_1}^2\) ， \(k^{2}+k{_1}^4+k{_2}^4\) ，排列組合計數即可。

\(\texttt{Contest 115}\)

\(\texttt{Problem C:}\) \(\texttt{Christmas Eve}\)

話說最近幾場的題目名怎麼都那麼鬼畜

從長度為 \(n\) 的序列裡選 \(k\) 個數，使得 \(k\) 個數中的最大最小值差最小。

對陣列進行一遍排序，每次選一段長度為 \(k\) 的連續子序列，求極大極小值的差即可。

\(\texttt{Problem D:}\) \(\texttt{Christmas}\)

定義 \(p_k\) 為 \(\texttt b + p_{k - 1} + \texttt p + p_{k - 1} + \texttt b\) ， \(p_0=p\) ，求 \(p_n\) 前 \(X\) 字元 \(p\) 的個數。

我們不斷將範圍縮小，確定 \(m\) 在第 \(i\) 的哪層，最後遞迴統計。