整除分塊

整除分塊是用來求這樣的式子的：

\(\sum_{i=1}^{n}\lfloor\dfrac k i\rfloor\)

如果打出表會發現這個值是呈階梯狀下降的，然後他的取值最多有 \(2\sqrt n\) 種，所以只要能 \(O(1)\) 求出每個塊的右邊界，就可以將這個 \(O(n)\) 的式子優化到 \(O(\sqrt n)\)。

\(O(1)\) 求右邊界的方法：

設左端點為 \(l\)，\(t=\lfloor\dfrac k l\rfloor\)，

1. \(t\ne0,r=\min(\lfloor\dfrac k t\rfloor,n)\)
2. \(t=0,r=n\)

證明：

先證明 \(r=\lfloor\dfrac k t\rfloor\)

\(t=\lfloor\dfrac k l\rfloor\leq\dfrac k l\)

\(\lfloor\dfrac k {\lfloor\frac k t\rfloor}\rfloor\geq\lfloor\dfrac k { \frac k t}\rfloor=t\)

\(\lfloor\dfrac k {\lfloor\frac k l\rfloor}\rfloor\geq t\)

再證明 \(r=\lfloor\dfrac k t\rfloor+1\)

\(\lfloor\dfrac k {\lfloor\frac k t\rfloor+1}\rfloor\leq\dfrac k {\lfloor\frac k t\rfloor+1}\)

只需證 \(\dfrac k {\lfloor\frac k t\rfloor+1}<t\)

把分母乘過去，\(k<t*{\lfloor\frac k t\rfloor+t}\)

設 \(k=x*t+r,0\leq r<t\)

則 \(x*t+r<t*x+t\)

有\(r<t\)

得證。

好像可以拓展到二維，但我還沒看，先咕了