概念

也叫重連通分量.由於無向圖的連通更加容易, 所以比起有向圖中連通更加註重節點之間能否相互到達的特點, 無向圖的連通會更加註重塊與塊之間能否相互到達.於是也會更加註意一個連通塊中, 一些邊和點對於整個連通塊的影響.雙連通分量分為兩類.

1. 邊雙連通分量, 對應的會影響分量的連通性的邊稱為割邊, 也叫橋. 為極大的不包含割邊的連通塊.
2. 點雙連通分量, 對應的會影響分量的連通性的點稱為割點. 為極大的不包含割點的連通塊

點雙和邊雙並不會互通. 即一個分量是點雙不一定是邊雙, 反之亦然.

與強連通分量相似, 找雙連通分量通常也只是求解問題中的一個步驟, 縮點之後, 才是真正的開始.

不同於有向圖, 無向圖沒有橫叉邊

邊雙的性質

1. 邊雙圖中任意兩點之間至少存在兩條邊不重合的路徑.(邊雙同有向圖的強連通分量一樣, 可以看作一個環的耦合連線)
2. 非割邊的邊僅屬於一個邊雙, 割邊不屬於任意一個邊雙.
3. 邊雙縮點之後會得到一棵樹.

點雙的性質

1. 除去一種特殊的點雙外, 其他的點雙圖中任意兩點之間至少存在兩條點不重合的路徑.
2. 非割點的點僅屬於一個點雙, 割點至少屬於一個點雙.

找邊雙連通分量

邊雙連通分量的求解也可以使用Tarjan演算法實現, 由於·橫叉邊已不存在, 因此對於以訪問過的節點, 一定都仍然儲存於dfs棧中(可以自己想想為啥, 和無向圖沒有橫叉邊的原因一致).

程式碼：

int dfn[MAXN], low[MAXN], timestamp, stk[MAXN], top;
int dcc_cnt, bridge, is_bridge[MAXN], id[MAXN], size[MAXN];
void Tarjan(int u, int pre) {
    dfn[u] = low[u] = ++timestamp;
    stk[++top] = u;
    int v;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        v = e[i];
        if (!dfn[v]) {
            Tarjan(v, i);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if (dfn[u] < low[v]) {									//cal bridge
                bridge++;
                is_bridge[i] = is_bridge[i ^ 1] = true;
            }
        }
        else if (i != (pre ^ 1)) low[u] = min(low[u], dfn[v]);		//不為父節點
    }
    if (low[u] == dfn[u]) {
        dcc_cnt++;
        do {
            v = stk[top--];
            id[u] = dcc_cnt;										//coloring
            size[dcc_cnt]++;										//cal s
        } while (v != u);
    }
}
 

找點雙連通分量

仍然是Tarjan演算法, 但加了一些特判處理.

一個點是割點, 僅當其一個子節點不能到達該點的父節點（即dfn[u] <= low[v]）, 且該節點至少連線兩個子樹時成立.對於非根節點的節點而言, 可以到達該點必然是通過父節點一側的子樹過來的, 再連線一個子節點一側的子樹即可, 而對於根節點而言, 則需要進行一個特判, 判斷其是否至少與兩個子樹相連.具體看程式碼.

一個點是不是割點需要進行以上的特判, 但一個點所連線的子樹是不是點雙, 則只要dfn[u] <= low[v]成立即可.具體看程式碼.

程式碼：

int dfn[MAXN], low[MAXN], timestamp;
int stk[MAXN], top;
int dcc_cnt, cut[MAXN];
vector<int> dcc[MAXN];

void Tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++timestamp;
    stk[++top] = u;
    if (u == root && h[u] == -1) {		//一個點也是點雙
        dcc_cnt++;
        dcc[dcc_cnt].push_back(u);
        return ;
    }
    int cnt = 0, v;						//記錄
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        v = e[i];
        if (!dfn[v]) {
            Tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if (low[v] >= dfn[u]) {
                cnt++;										//is a subtree
                if (u != root || cnt > 1) cut[u] = true;	//cutJudge
                dcc_cnt++;
                int y;
                do {
                    y = stk[top--];
                    dcc[dcc_cnt].push_back(y);
                } while (y != v);
                dcc[dcc_cnt].push_back(u);					//get dcc
            }
        }
        else low[u] = min(low[u], low[v]);					//no effect
    }
}

例題

Redundant Paths

題面：

分析：

給出一個無向圖, 求解需要新增多少條邊可以將原圖變成一個邊雙.

直接使用二級結論：縮點之後得到一顆樹, 需要新增的邊數即為(葉子節點數 + 1) / 2, 即邊數的一半向上取整, 下面給出證明.

我們知道, 一個簡單的邊雙就是一個一個環,一個複雜的邊雙就是多個環進行的耦合連線, 因此得到一顆樹之後, 我們的任務就是要連線最少的邊將原圖連線成一個環. 而環的性質在於沒有一個點的度為1, 所有點的度都大於1. 而對於一顆樹而言, 其擁有葉子節點個數個度為1的點, 所以, 一種樸素的想法就是通過連線一條邊, 減少樹中的葉子節點, 減少度為1的點, 最為理想的情況連線兩個葉子節點可以消去兩個度為1的點, 但是在消去兩個葉子節點的同時, 還要防止新的葉子節點生成(新的葉子節點只由縮點之後的得到的點產生), 因此選擇哪兩個葉子節點進行連線非常重要. 連線兩個節點之後會進行縮點從而再進行下一步的連線, 縮點的物件是以兩個葉子節點為端點的一條鏈, 縮點之後將其變為一個點, 而為了防止該點變成葉子節點, 選擇的兩個葉子節點對應的鏈上至少與其他兩條鏈相連. 而在連線的過程中, 總是可以找到這樣的兩個葉子節點, 使其對應的鏈滿足條件. 因此只需要連線(葉子節點數 + 1) / 2條邊.

邊界條件: 葉子樹為1, 不需要加邊; 葉子數為2, 加一條邊; 葉子數為為3, 連線兩條邊.