圖染色問題的經典結論

定義

稱一個邊染色方案合法當且僅當每個頂點連出的所有邊的顏色都互不相同，如果此時出現了 \(k\) 個顏色那麼稱該方案是圖的一組 \(k\) 染色

一張無向圖的邊著色數為最小的 \(k\) 滿足圖可以 \(k\) 邊染色，但不存在一個 \(k-1\) 邊染色方案，記圖 \(G\) 的邊色數為 \(\chi'(G)\)

同時記 \(\Delta(G)\) 為圖上的最大度數

\(\rm{Vizing}\) 定理：

• 如果滿足 \(G\) 是二分圖，那麼 \(\chi'(G)=\Delta(G)\)

  考慮對這部分進行構造性證明：

  考慮向二分圖中加入邊 \((x,y)\)，設 \(c_x\)

  為 \(x\) 點連出的邊的顏色中的一個在 \([1,c]\) 中沒有出現的顏色，\(c_y\) 同理

  如果 \(c_x=c_y\) 那麼直接將這條邊染成 \(c_x\) 即可

  否則不妨設 \(c_x< c_y\) 將 \(y\) 點連出的顏色為 \(c_x\) 的邊改成顏色 \(c_y\) 並將邊 \((x,y)\) 染成 \(c_x\)

  同時由圖是二分圖，那麼一定可以從 \(y\) 點開始找到一條終點不是 \(x\) 的增廣路，路徑顏色為 \(c_x,c_y\) 交替，直接在 \(\{c_x,c_y\}\) 集合內反色即可

• 如果 \(G\) 是簡單圖，那麼 \(\Delta(G)\le \chi'(G)\le \Delta(G)+1\)

證明博主不會

例題

Undefined

一張 \((n,m)\) 點的二部圖，有 \(k\) 條邊，\(c\) 個顏色

一個點的代價是給其邊染色之後邊表中出現次數最多的顏色減去出現次數最少的顏色，求所有點的代價和的最小值

首先給出結論：\(\rm{Min}=n+m-\sum_{i=1}^{n+m}[c|deg[i]]\)

將一個點的 \(c\) 個邊包裝成一組進行建立新點，新圖仍然是二分圖，同時滿足每個點的度數 \(\leq c\)

直接使用 \(\rm{Vizing}\) 定理完成結論證明

UOJ44

周歪歪的大神題，咕咕咕咕咕咕咕

我要咕呀我不怕，反正我是大廢物