向量分析與場論（節選）
2.2 標量場的方向導數和梯度
2.2.1 標量場的方向導數
在標量場中，在 P 點沿 \(l\) 方向的變化率定義為該標量場在 P 點沿 \(l\) 方向的方向導數，記為
\[\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{P}=\lim _{\Delta l \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)-u(x, y, z)}{\Delta l} \\ =\frac{\partial u}{\partial x}cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y}cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z}cos \gamma \]即需要兩個東西：函式
當然，與普通函式的導數類似，方向導數也不是百分之百存在的，需要函式滿足在某點處可微，才能計算出該函式在該點的方向導數。
至於其物理含義，這裡採用最常用的下山圖來表示。
簡單將上圖看作是一座山的模型，我們處在山上的某一點處，需要走到山下。理論上來說，這座山的表面是可以通過一個函式的描述的（雖然想要找到這個函式可能很難），而這個函式可以在不同的方向上都確定出一個方向導數，這就好比於如果我們想下山，道路並不是唯一的，而是可以沿任何方向移動。區別在於有些方向可以讓我們下山速度更快，有些方向讓我們下山速度更慢，有些方向甚至引導我們往山頂走（也可以理解為下山速度時負的）。在這裡，速度的值就是方向導數的直觀理解
2.2.2 標量場的梯度
梯度與方向導數是有本質區別的，梯度其實是一個向量，其定義為：
在空間一給定點，向量 A 的大小等於標量函式 u 在該點的最大方向的方向導
數值，向量 A 的方向指向使標量函式 u 的值增加最快的方向。這個向量 A 就被定義為標
量場 u(x,y,z) 的梯度(gradient)，記為 gradu=A
A 的具體表示可以參考"8 梯度的產生"[1]
梯度的基本公式：
\[\begin{aligned} &\nabla(a u)=a \nabla u, \quad a \text { 為常數 } \\ &\nabla(u \pm v)=\nabla u \pm \nabla v \\ &\nabla(u v)=u \nabla v+v \nabla u \\ &\nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{1}{v^{2}}(v \nabla u-u \nabla v) \end{aligned} \]很顯然，運算元 \(\nabla\)
- 想要 dz 變化最快，那麼梯度的方向就被定下來了（和 dl 同向）
- 所以，如果此時測量這個方向的斜率，就是梯度的大小
- 說實話，我覺得以上證明過程很抽象，但這就是數學，而我們要做的就是從這些抽象中來理解問題的實質。
依然採用下山的例子來解釋。我們想要走到山下，道路有千萬條，但總有一條可以讓我們以最快的速度下山。當然，這裡的最快速度僅僅作用在當前的位置點上，也就是說在當前位置 A 我們選擇一個方向往山下走，走了一步之後到達了另外一個位置 B，然後我們在 B 位置計算梯度方向，並沿該方向到達位置處 c，重複這個過程一直到終點。但是，如果我們把走的每一步連線起來構成下山的完整路線，這條路線可能並不是下山的最快最優路線。
原因是什麼？可以用一句古詩來解釋：“不識廬山真面目，只緣身在此山中。”因為我們在山上的時候是不知道山的具體形狀的，因此無法找到一條全域性最優路線。那我們只能關注腳下的路，將每一步走好，這就是梯度下降法的原理。 - 梯度的方向垂直於通過該點的等值面，並指向使函式值增大的方向，即該等值面的正法線方向。
常用公式：
- \(\nabla R=-\nabla'R=\frac{\vec R}{R}=e_R\)
- \(\nabla \frac{1}{R}=-\nabla'\frac{1}{R}=-\frac{\vec R}{R^3}=-\frac{e_R}{R^2}\)
2.3 向量場的通量和散度
2.3.1 向量場的通量
向量場 A 穿過曲面 S 的通量線的總數稱為向量 場 A 通過曲面 S 的通量
\[\Phi=\int_S A\cdot d\vec S=\int_S A\cdot e^ndS \]2.3.2 向量場的散度
"12 電場的散度"[2]
A 在上式中為 E
\[\begin{gathered} \nabla \cdot C=0, \quad C \text { 為常向量 } \\ \nabla \cdot(a \boldsymbol{A})=a \nabla \cdot \boldsymbol{A}, \quad a \text { 為常數 } \\ \nabla \cdot(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{\nabla} \cdot(u \boldsymbol{A})=u \nabla \cdot \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A} \cdot \nabla u, \quad u \text { 為標量函式 } \\ \nabla\cdot(A\times B)=B\cdot (\nabla\times A)-A\cdot(\nabla\times B) \end{gathered} \]2.4 向量場的環量和旋度
如果向量場是無源的，即該向量場的散度處處為零，則該向量場必定存在另一種源 ——旋渦源。而向量場旋渦源與該向量場的環量和旋度有關。
2.4.1 向量場的環量
向量場 A 沿空間一條閉合曲線 l 的線積分，稱為向量場 A 沿該閉合曲線的環量，記 為 \(\Gamma\)
\[\Gamma=\oint_l A\cdot dl \]2.4.2 向量場的旋度
環量是一個圈，一個面，軸線為其法線，當積分方向和法線方向相同時，環量最大（類比於梯度）
旋度定義為 環量最大，此時前進方向和環量軸線方向一致。也就是說，前進方向的投影在軸線上達到最大值 。
\[\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint_lA\cdot dl}{\Delta S} \]在直角座標系中可以藉助哈密頓運算元 \(\nabla\) 將旋度 curl \(\vec A\) 簡潔地表示為運算元 $\nabla $與矢 量 A 的向量積，即
\[\begin{aligned} \operatorname{curl} \boldsymbol{A} &=\nabla \times \boldsymbol{A} \\ &=\left(\boldsymbol{e}_{x} \frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{e}_{y} \frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{e}_{z} \frac{\partial}{\partial z}\right) \times\left(\boldsymbol{e}_{x} A_{x}+\boldsymbol{e}_{y} A_{y}+\boldsymbol{e}_{z} A_{z}\right) \\ &=\boldsymbol{e}_{x}\left(\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\right)+\boldsymbol{e}_{y}\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\right)+\boldsymbol{e}_{z}\left(\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right) \end{aligned} \]旋度的基本公式：
\[\begin{gathered} \nabla \times \boldsymbol{C}=0, \quad \boldsymbol{C} \text { 為常向量 } \\ \boldsymbol{\nabla} \times(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{\nabla} \times(a \boldsymbol{A})=a \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}, \quad a \text { 為常數 } \\ \boldsymbol{\nabla} \times(u \boldsymbol{A})=u \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla} u \times \boldsymbol{A}, \quad u \text { 為標量函式 } \end{gathered} \]2.5 梯度、散度、旋度的比較
- 一個標量函式的梯度是一個向量函式
- 描述了空間各點標量函式的最大變化律及其方向
- 一個向量函式的散度是一個標量函式
- 描述了空間各點場向量與通量源（產生散度）之間的關係
- 一個向量函式的旋度是一個向量函式
- 描述了空間各點場向量與漩渦源（產生旋度）之間的關係
一個非零是向量場不可能既是無源場（沒有通量源）又是無旋場（沒有漩渦源）
3 向量恆等式和基本定理
向量恆等式和基本定理在向量場和標量場的討論和計算中是非常有用的。它們中間 的大部分通過直接計算就能夠證明。簡單起見，可以在直角座標系中證明。對於其他的 正交座標系，也都是成立的
3.1 三個重要的恆等式
3.1.1 三個重要的恆等式
\[\nabla \times \nabla u=0 \\ \nabla\cdot \nabla \times A=0 \\ \nabla\times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot A)-\nabla^2A \]- 第一個表明：任何一個標量函式梯度的旋度必等於 0
- 梯度場（可以表示為某一標量函式梯度的向量場）必然是無旋場，任何一個無旋場（旋度恆為 0 的場）必為有位場（例如：靜電場）
- \(\vec \nabla\times \vec E=0\) \(\vec E=-\vec \nabla\Phi\)
- 第二個式子表明：任何一個向量函式旋度的散度必等於 0
- 旋度場（可以表示為某一向量函式的旋度的向量場）必為無源場，任何一個無源場（散度恆為 0 的場）必為旋度場（恆定磁場）
- \(\vec\nabla \cdot B=0\) \(\vec B=\vec \nabla \times \vec A\)
- 第三個式子奠定了波函式的基礎
3.1.2 直角座標系中的拉普拉斯運算元\(\nabla^2\)
向量場中的拉普拉斯運算
直角座標系中向量場的拉普拉斯運算
直角座標系中標量場的拉普拉斯運算
- 其他座標系中標量場的拉普拉斯運算就是計算標量場的梯度的散度，不能等於兩個哈密頓的標量積
- 在其他座標系中對向量場的拉普拉斯運算後的向量的每個分量將有可能與向量的所有的分量有關。
3.2 向量場的基本定理
3.2.1 高斯散度定理
向量場穿過空間內任一閉合曲面的通量等於該向量的散度在曲面所包圍體積分
- 可以理解為：在一個閉合曲面內，向量場 A 穿過閉合曲面 S 的通量與所有 N 個小閉合曲面的通量之和相等。根據散度的定義，無窮小曲面的通量和體積的比，，N 趨向於無窮大，可證。
3.2.2 斯托克斯定理
向量場沿空間任一閉合曲線的環量等於該向量場的旋度穿過以閉合曲線作為邊界曲線的任一開放曲面的通量。
- 可以理解為：開放曲面 S 可以分為很多個小閉合曲線，由於每兩個相鄰小面積間有一部分公共邊界，環繞方向相反，所以向量場 A 沿這兩段相鄰邊界的積分相互抵消，於是向量場 A 沿閉合邊界曲線 l 的環量就應該等於沿著所有 N 個小閉合邊界曲線的環量的代數和。
由旋度的定義，可得
- 曲面正法線方向和閉合曲線的正向符合右手螺旋定則
這一公式表明，向量場 A 沿空間任一閉合曲線\(l\)的環量等於該向量場的旋度穿過以\(l\)作為邊界曲線 的任一開放曲線 S 的通量
3.2.3 格林第一定理
\(u,w\) 為任意兩個定義在空間區域 V 中的標量函式，並且具有連續的二階偏導數，則滿足以下恆等式
形式一
形式二（藉助方向導數改寫）
據說該定理可令 \(\vec A=w\vec \nabla u\)，再通過高斯散度定理進行證明。
3.2.4 格林第二定理
將第一定理中 u 和 w 的位置對調，再與第一定理相減
形式一
形式二（藉助方向導數改寫）
3.2.5 唯一性定理
若在區域 \(V\) 內向量場 \(\vec A\) 的散度 \(\nabla \cdot \vec A\)、旋度 \(\nabla\times \vec A\) 以及在邊介面 \(S\) 上的切線分量 \(\vec A_t\)（或法向分量 \(A_n\)）已經給定，則向量場在該區域內的解是唯一的。
3.2.6 亥姆霍茲定理
向量場的唯一性定理表明，空間任一區域內的場被該區域內的源（包括通量源以及漩渦源，即是散度和旋度不為 0 的值）和該區域表面的邊界條件（切向邊界條件或法向邊界條件）唯一地確定。
但這一定理未給出這些物理量之間的定量關係。亥姆霍茲定理給出了這一關係。
空間有限區域 \(V\) 內的任一向量場 \(\vec F\) 均可以表示為一個無源場 \(\vec F_1\)（即 \(\vec \nabla \cdot \vec F_1=0\) 或 \(\vec F_1=\vec \nabla \times \vec A\)）和一個無旋場 \(\vec F_2\) （即 \(\vec \nabla \times \vec F_2=0\) 或 \(\vec F_2=-\vec \nabla \Phi\)）之和
式中向量 A 和標量 \(\Phi\) 可表示為
假設空間區域為無限大，而場源分佈在一個有限的區域內，假設向量場在無限遠處以足夠快的速度減弱至零，即（具有無限大面積 S 的面積分將等於 0，所以只需要進行體積分）
- 表明：在無限大空間中，只要知道向量場的散度和旋度，就能將空間中的這個向量場定量地確定下來。（這就是為什麼在以後對各類電磁場的討論中，總是首先討論場的散度特性和旋度特性的原因）
亥姆霍茲定理的兩個應用
- 無限大真空中的靜電場
亥姆霍茲等同於庫倫定律
- 無限大真空中的恆定磁場
亥姆霍茲等同於畢奧薩法爾定律
4 常用正交曲線座標系
4.1 三種常用的正交座標系
正交曲線座標系的型別很多，已經出現的有 10 種以上。除了直角座標系這種特殊的正交曲線座標系以外，其他的還有圓柱、球面、橢圓柱、拋物柱等正交曲線座標系。三種常用的正交曲線座標系就是直角座標系、圓柱座標系和球面座標系。
- 正交曲線座標軸上的單位向量相互正交併且複合右手螺旋法則
4.1.1 直角座標系
從上圖可以看出，直角座標系中，長度元\(dl\)，面積元\(dS\)，體積元\(dV\)
4.1.2 圓柱座標系
4.1.3 球面座標系
4.2 三種常用座標系的轉換
座標系的轉換包括座標的轉化和方向向量的轉換
4.2.1 直角座標系與圓柱座標系之間的關係
4.2.2 直角座標系與球面座標系之間的關係
4.2.3 圓柱座標系與球面座標系之間的關係
4.3 三種常用座標系中的梯度、散度、旋度和拉普拉斯展開式
4.3.1 直角座標系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯展開式
- 只有在直角座標系中，梯度、散度、旋度和拉普拉斯展開式可以看成是哈密頓運算元與標量函式或者向量函式的乘積
4.3.2 圓柱座標系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯展開式
4.3.3 球面座標系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯展開式
8 梯度的產生
再對比一下我們上面推匯出來的 全微分定理 ：
這個全微分定理的右邊跟向量點乘的右邊是不是很像？都是兩個量相乘然後把結果加起來。如果我們把 dx 看作 x2，dy 看作 y2，兩個偏導數看作 x1 和 y1，那麼我們就可以按照這個點乘的公式把這個全微分定理拆成兩個向量點乘的樣子，即 dz 可以寫成這樣：
於是，dz 就被我們拆成了兩個向量點乘的樣子，我們再來仔細看看這兩個向量：右邊的這個向量的兩個分量分別是 dx 和 dy，這分別是我 沿著 x 軸和 y 軸分別移動無窮小的距離 ，它們相加的結果用 dl 來表示:
而左邊呢，左邊這個向量的兩個分量分別是函式 z=f(x,y)對 x 和 y 的兩個偏導數，這個我們也用一個新的符號來表示它：
繞了這麼久，我們現在終於看到這個 \(\nabla\) 符號了，這個 \(\nabla\)的名字就叫：z 的 梯度 。
把左右兩邊的向量都單獨拎出來之後，我們就可以把原來的式子寫成更簡單的樣子：
12 電場的散度
當我們把電場的散度寫成 ▽·E 這樣的時候，我們會覺得：啊，好簡潔！但是我們也知道 ▽ 運算元的定義是這樣的：
那麼 ▽·E 就應該寫成這樣：
而我們知道電場 E 其實是一個向量函式（不同點對應的電場的情況），那我們還是可以把 E 分解成 x,y 兩個分量的和，這兩個分量後面跟一個 x 和 y 方向的單位向量就行了。那麼，上面的式子就可以寫成這樣：
然後，因為向量點乘是滿足分配律的，所以我們可以把他們按照普通乘法一樣展開成四項。而 x 和 y 是垂直的單位向量，所以 x·y=y·x=0 ， x·x=y·y=1 ，然後我們最後剩下的就只有這兩項了：
這就是電場 E 的散度的 最終表示式 ，它的意思很明顯： 我們求電場 E 的散度就是把向量函式 E 分解成 x 和 y 方向上的兩個函式，然後分別對它們求偏導，最後再把結果加起來就行了 。
我們現在有了一個定義良好，計算方便的 散度 ▽· 表示式了，但是，你還記得我們在開始講到的散度的定義麼？我們最開始是怎樣引入散度的呢？
我們是從麥克斯韋方程組的積分形式引入散度的。高斯電場定律說通過一個閉合曲面的電通量跟這個閉合曲面包含的電荷量成正比，而且這個曲面可以是任意形狀。然後我們為了從巨集觀進入微觀，就讓這個 曲面不停地縮小縮小 ，當它縮小到 無窮小 ，縮小到只包含了一個點的時候，這時候我們就說通過這個無窮小曲面的通量和體積的比就叫 散度 （用 div 表示）。
也就是說，我們最開始從無窮小曲面的通量定義來的散度和我們上面通過偏導數定義來的 散度 ▽· 指的是同一個東西。即：