矩陣論 - 9 - 線性無關、基、維數
線性無關、基、維數
線性無關 Independence
假定有 \(m\times n\) 的矩陣 \(A\) ，以列向量形式表示：\(\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n\end{bmatrix}\)。
-
如果 \(Ac=0\) 只有零解 \(c=0\)（即 \(A\) 零空間中有且僅有 \(0\) 向量），則各向量線性無關。
- 如果矩陣 \(A\) 的列向量為線性無關，則 \(A\) 所有的列均為主元列，沒有自由列，矩陣的秩為n。\(rank(A)=n\)。
-
如果存在非零向量 \(c\) 使得 \(Ac=0\)，則存線上性相關向量。
- 若 \(A\) 的列向量為線性相關，則矩陣的秩小於n，並且存在自由列。\(rank(A)\lt n\)。
例子：
在 \(\mathbb{R}^2\) 空間中，兩個向量只要不在一條直線上就是線性無關的。
在 \(\mathbb{R}^3\) 空間中，三個向量線性無關的條件是它們不在一個平面上。
張成空間 Spanning a space
當一個空間是由向量 \(v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_k\) 的所有線性組合組成時，我們稱這些向量張成了這個空間。例如矩陣的列向量張成了該矩陣的列空間。
如果向量 \(v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_k\) 張成空間 \(S\)
基與維數 Basis and dimension
向量空間的基（basis）是具有如下兩個性質的一組向量 \(v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_d\) ：
- 他們線性無關；
- 他們可以張成（span）該向量空間。
空間的基告訴我們了空間的一切資訊。
對於向量空間 \(\mathbb{R}^n\)，如果 \(n\) 個向量組成的矩陣為可逆矩陣，則這 \(n\) 個向量為該空間的一組基，而數字 \(n\) 就是該空間的維數（dimension）。
對於任何矩陣 \(A\) 均有：矩陣的秩r=矩陣主元列的數目=列空間的維數
例子：
對於 \(
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\)
可以求得 \(Ax=0\) 的兩個解，即\( x_1= \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, x_2= \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \)
特解的個數就是自由變數的個數，所以\(n-rank(A)=2=自由變數存在的列數=零空間維數\)
所以有：列空間維數 \(dim C(A)=rank(A)\)，零空間維數 \(dim N(A)=n-rank(A)\)
總結
- 線性無關與線性相關：
- 線性無關：\(Ax=0\) 只存在 \(x=0\) 的解
- 線性相關：\(Ax=0\) 存在解非 \(0\) 解
- 對於向量空間 \(\mathbb{R}^n\)，如果 \(n\) 個向量組成的矩陣為可逆矩陣，則這 \(n\) 個向量為該空間的一組基，而數字 \(n\) 就是該空間的維數（dimension）。
- 列空間維數 \(dim C(A)=rank(A)\)，零空間維數 \(dim N(A)=n-rank(A)\) 。
reference
[1] textbook
[2] mit18.06學習筆記-0
[3] mit18.06學習筆記-1