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定義

異或和

設 S 為一無符號整數集，定義異或和 \(\rm xor-sum(S)=S_1 \rm xor S_2 \rm xor \dots S_{|S|}\)

張成

設 \(T \subseteq S\)，所有這樣的自己 \(T\) 的異或和組成的集合稱為 \(S\) 的張成，記作 \(span(S)\)。

線性相關

對於一個集合 \(S\)，如果存在一個元素 \(S_j\)，使得，\(S\) 在去除這個元素後得到的集合 \(S'\) 的張成 \(span(S')\) 中包含 \(S_j\)，則稱 \(S\) 線性相關。

相對的，如果不存在這樣的元素 \(S_j\)，則稱 \(S\)

線性基

我們稱 \(B\) 是集合 \(S\) 的線性基，當且僅當:

1. \(S\) \(\subseteq\) \(\rm span(S)\)

2. \(B\) 線性無關

線性基的個數稱為長度

線性基的基本性質:

1. \(B\) 是極小的滿足線性基性質的集合，它的任何真子集都不可能是線性基
2. \(S\) 中任意元素都可以唯一表示為 \(B\) 中若干元素異或起來的結果

構造

設集合 S 中最大的數在二進位制意義下有 L 位，使用一個 \([0..L]\) 的陣列 \(a\) 來儲存線性基。

這種構造保證了一個特殊性質，對於每個 \(i\)，\(a_i\) 以下兩種可能：

1. \(a_i=0\)
   ，並且
   \(\circ\) 只有滿足 \(j>i\) 的 \(a_j\) 的第 \(i\) 個二進位制位可能為 \(1\)
2. \(a_i\neq 0\)，並且
   \(\circ\) 整個 \(a\) 陣列中只有 \(a_i\) 的第 \(i\) 個二進位制位為 \(1\)
   \(\circ\) \(a_i\) 更高的二進位制位一定為 \(0\)
   \(\circ\) \(a_i\) 更低的二進位制位可能位 \(1\)

我們稱第 i 位存在於線性基中，當且僅當 \(a_i\neq 0\)

證明

顯然特殊性質成立。

首先將 \(S\) 中的數插入到集合 \(B\) 中。對於一個 t 若它被消成 \(0\)

單次插入 \(O(\log t)\)，空間同樣為 \(O(\log t)\)

合併

兩個線性基在 \(O(\log^2 t)\) 時間內合併，意義是用一個合併後的線性基表示 \(S_1\) 和 \(S_2\)

暴力插入就完事了

題目

毛毛蟲（沒許可權也看不了

看到集合中取數做異或立刻想到線性基，顯然有一個 \(O(n^2\log V)\) 的做法……

轉化一下看看能不能樹上啟發式合併，似乎不太行，但是考慮到自身到根的一條道路不存在，可以聯想到出棧序，隨即想到拍到序列上維護。

然後就得到一個 \(O(n\log^2V)\) 的做法，拍到序列上，然後暴力合併兩個線性基。

考慮這個線性基具有飽和性，即插入 \(O(\log V)\) 就不能繼續相里插入元素。

所以可以只合並這 \(O(\log V)\) 個線性基。

複雜度做到 \(O(n\log V\ +\ \log^4V)\)

程式碼

說一點自己自己對這個東西的理解

考慮這是一個 \(\log V\) 的向量，線性基中的元素相當於基向量，使用基向量來線性組合出某個向量 \(x\)。特殊地，係數只能為 \(0\) 或 \(1\)。