• 前言
• 無向圖
  • 割點
  • 點雙連通分量
  • 橋
  • 邊雙連通分量

前言

之前每次需要計算強連通分量的時候都用的 \(\text{Kosaraju}\)，主要是感覺 \(\rm Tarjan\) 好玄學，我的智商駕馭不了這個玩意兒。

但是，\(\rm Tarjan\) 真的太強大了！隨便做道圖論都有它！於是只有重學一遍，我真的是被逼的。

無向圖

割點

先上程式碼吧：

for(int i=1;i<=n;++i)
    if(!dfn[i]) tarjan(i,i);

void tarjan(int u,int fa) {
	dfn[u]=low[u]=++idx;
	int son=0;
	for(int i=0;i<e[u].size();++i) {
		int v=e[u][i];
		if(v==fa) continue;
		if(!dfn[v]) {
			++son;
			tarjan(v,u);
			if((u^fa) and low[v]>=dfn[u])
				cut[u]=1;
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(u==fa and son>1) cut[u]=1;
}
 

定義 \(\text{dfn}_u\) 是遍歷 \(u\) 的時間戳，\(\text{low}_u\) 是 \(u\) 在 不經過父親 時能到達的時間戳最小的點的時間戳，初始時 \(\text{low}_u=\text{dfn}_u\)。我們先構建出一棵 \(\rm dfs\) 樹，由於邊是雙向的，容易發現邊只有樹邊與返祖邊。這也是迴圈中的 if-else 判斷。

那麼當 \(u\) 通過樹邊連線到 \(v\) 時，如果 \(\text{low}_v\ge \text{dfn}_u\)，就說明 \(v\) 子樹中沒有點可以不經過 \(u\) 到達上層，所以 \(u\) 是割點。需要注意的是，每個連通塊的根都滿足這一條件，但顯然並不是所有根都是割點，我們需要額外判斷：記錄 \(son\)

為什麼當 \(u\) 通過返祖邊連線到 \(v\) 時，\(\text{low}_u\) 被 \(\text{dfn}_v\) 更新呢？首先強調一下 else 中還藏著一個 \(v\neq \rm fa\) 的判斷。問題在於，用 \(\text{low}_v\) 更新並不能保證在返回時用樹邊更新 \(\text{low}_x\) 時（假設 \(x\) 是 \(v\) 的某個祖先）的用於更新的值不經過 \(x\) 的父親。

很容易列舉的反例是 \((x,y),(y,z),[z,x]\)（\([]\) 表示返祖邊），如果 \(x\)

點雙連通分量

懂了割點之後，這個還是很好理解的。需要注意根是孤兒的情況，而且一個割點可能被多個點雙連通分量包含。

此時根不一定是割點，但我們仍需要利用它將剩餘的點塞進一個點雙連通分量中。另外，while() 迴圈應到 \(v\) 停止而不是 \(u\)，不然會塞進去一些另外的點。

for(int i=1;i<=n;++i)
    if(!dfn[i]) tarjan(i,i);

void tarjan(int u,int fa) {
	dfn[u]=low[u]=++idx; stk[++tp]=u;
	if(u==fa and !head[u]) {
		dcc[++Dcc].push_back(u);
		return;
	}
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;
		if(!dfn[v]) {
			tarjan(v,u);
			if(low[v]>=dfn[u]) {
                dcc[++Dcc].push_back(u);
                while(stk[tp]^v)
                    dcc[Dcc].push_back(stk[tp--]);
                dcc[Dcc].push_back(stk[tp--]);
            }
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}

橋

若 \(u\rightarrow v\) 是一條返祖邊，仍然是用 \(\text{dfn}_v\) 來更新，原因同上。需要注意 重邊 的問題，這可能會使橋變成非橋。

void tarjan(int u,int fa) {
	dfn[u]=low[u]=++idx;
	bool Vis = false;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
		int v=e[i].to;
		if(!dfn[v]) {
			tarjan(v,u);
			if(low[v]>dfn[u]) 
                then (u,v) is a bridge.
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(v==fa and !Vis) Vis = true;
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}

邊雙連通分量

此時不在判斷 low[v]>dfn[u] 的時候求解，會漏算孤兒的情況。

/*
網上很多程式碼有 inStack 陣列，不太明白用來幹嘛...
*/
void tarjan(int u,int fa) {
	dfn[u]=low[u]=++idx; stk[++tp]=u;
	bool Vis = false; int dot;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
		int v=e[i].to;
		if(!dfn[v]) {
			tarjan(v,u);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(v==fa and !Vis) Vis = true;
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(low[u]==dfn[u]) {
		++scc;
		do {
			bl[dot=stk[tp--]]=scc;
		} while(dot^u);
	}
}