多路查詢樹

二叉樹與 B 樹

二叉樹存在的問題

二叉樹的操作效率較高，但是也存在問題，如下圖所示

當二叉樹的節點較少時，不會出現什麼問題。但是當節點過多時（海量，如 1 億），就會出現如下的問題：

1. 構建二叉樹時，需要進行多次 I/O 操作

   節點較多時，一般會儲存在檔案或則資料庫中，進行多次 I/O 獲取到所有的節點，速度有影響

2. 會造成二叉樹的高度很大，降低操作速度

多叉樹

為了解決層數過多的問題，就出現了 多叉樹。

在二叉樹中，每個節點有資料項，最多有兩個子節點。如果允許每個節點可以有更多的資料項和更多的子節點，就是 多叉樹（multiway tree）。

多叉樹也有一定的規則的，比如後面講解的 2-3 樹、2-3-4 樹，就是多叉樹。

多叉樹通過重新組織節點，減少樹的高度，對二叉樹進行優化。

下圖則是一顆 2-3 的多叉樹：

2-3 的原因：如上圖按節點數量來定義的。有的只有 2 個子節點，有的有 3 個子節點。

B 樹的基本介紹

B 樹通過重新組織節點，降低樹的高度，並且減少 I/O 讀寫次數來提升效率。

上圖說明：

• 一個圓圈表示一個數據項
• 相連的資料項，整個表示一個節點

那麼它的有點如何理解呢？

• 降低樹的高度：

  可以看到，一個節點中有很多資料項，就能大大減少節點數量，從而降低樹的高度

• 減少 I/O 讀寫次數

  檔案系統及資料庫系統的設計者利用了 磁碟預讀原理，將一個節點的大小設為等於一個頁（通常大小為 4K）

  ，這樣每個節點只需要一次 I/O 就可以完全載入。

  這樣說，你可能沒有概念，舉個例子：將樹的度 M 設定為 1024 ，在 600 億個元素中最多隻需要 4 次 I/O 操作就可以讀取到想要的元素。

  B 樹（B+ ）廣泛應用於檔案儲存系統以及資料庫系統中。

  什麼是 度？

  • 節點的度：一個節點下的子樹節點個數就是 節點的度。
  • 樹的度：指一顆樹中，節點的度最大的哪一個值。

B 樹其實就是前面所說的 多叉樹

樹

2-3 樹

2-3 樹是最簡單的 B 樹結構，具有如下特點：

1. 所有 葉子節點 都在同一層

   只要是 B 樹都滿足這個條件，就是滿樹。

2. 有兩個子節點的節點叫 二節點

   二節點要麼 沒有子節點，要麼 必須有兩個子節點

   。

3. 有三個子節點的節點叫 三節點

   三節點要麼 沒有子節點，要麼 必須有三個子節點。

4. 2-3 樹是由 二節點 和 三節點 構成的樹

2-3 樹構建圖解

對數列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 構建成一個 2-3 樹，那麼它構建的規則要滿足前面說的特點。下面進行圖解後，你就明白，上面的特點是如何限制的。

有幾個額外的注意事項：

1. 一個節點中，最多隻允許放 2 個數據。
2. 構建的樹必須是有序的，也就是按照二叉排序（BST）的要求構建有序的樹

下面是圖解步驟：

1. 新增 16、24
   

新增 16 時，沒有資料，直接新建一個節點，放進去。

新增 24 時，發現有一個節點了，並且比 16 大，此時該節點中只有一個數據，則將 24 放在 16 的右邊。

2. 新增 12
   

此時會發現，12 比 16 小，本來應該放在 16 的左邊，此時發現這個節點 已經有兩個資料了，那麼就只能放在 左子節點 。

如果直接將 12 放到 16,24 的左節點，就會破壞 2-3 樹的條件：2 節點，要麼沒有子節點，要麼有兩個。

那麼此時就只能將 16,24 這個節點進行拆分。如上圖：24 變成 16 的右節點，12 變成 16 的左節點。這時就滿足了 2-3 的特性。

3. 新增 32

   這個就簡單了，以現在的樹結構，可以直接新增到 24 的 右邊，變成 24,32
   

4. 新增 14

   這個也簡單，直接新增到 12 的右邊，變成 12,14
   

5. 新增 26

   此時應該新增到 24,32 的中間，由於一個節點只能新增兩個資料，那麼就需要拆分。
   

為了滿足 B 樹特點，發現上層的 16 只有一個數，那麼就補足它。組成 16,26。

因為此時 24,32 這個節點，不滿足 BST 的排序了，24 是小於 26 的。只有 32 滿足。

拆完上層，再拆本層：由於 24 介於 16,26 之間，則將它安排在 3 節點中的中間節點，24,32 把 24 拆分出去了，只剩下 32，此時完全滿足 B 樹的特點。

6. 新增 34

   此時就簡單了，新增到 32,34 中
   

7. 新增 10

   此時應該新增到 12,14 的左側。但是不滿足條件：一個節點最多隻能裝 2 個數據。

   放到 12,14 的左節點，也不滿足條件：所有葉子節點必須在同一層、也不滿足 2-3 節點的數量要求。

   那麼此時就需要拆分，先看他的上層 16,26 是滿的，如何做呢？看下圖：
   

左側的拆分圖，上面我們分析過了，不滿足 B 樹要求。那麼就需要拆分成右圖這樣：

1. 將 12,14 中的 14 拆分成 右子節點，10 掛在 左節點。

2. 此時不滿足 B 樹要求的，則將 16,26 中的 26 拆分成 右子節點。

3. 24 這個節點由於上層被拆分了，不滿足在中間節點了。調整它的位置

4. 原來的 32,34 節點調整為 16 的右節點。

5. 新增 8

   此時很簡單，組成 8,10 即可
   

6. 新增 28
   

7. 新增 38

   此時就簡單，直接組成 34,38
   

8. 新增 20

   這個也簡單，直接組成 20,24
   

2-3 樹新增規則總結

滿足如下特點：

1. 所有 葉子節點 都在同一層

   只要是 B 樹都滿足這個條件，就是滿樹。

2. 有兩個子節點的節點叫 二節點

   二節點要麼 沒有子節點，要麼 必須有兩個子節點。

3. 有三個子節點的節點叫 三節點

   三節點要麼 沒有子節點，要麼 必須有三個子節點。

4. 2-3 樹是由 二節點 和 三節點 構成的樹

5. 構建的樹，要滿足二叉排序樹（BST） 的順序

6. 一個節點中，最多隻允許放 2 個數據。

7. 只有一個數據的節點，下面只允許 最多有 2 個節點，要麼沒有

8. 有 2 個數據的節點，下面只允許 最多有 3 個節點，要麼沒有

234 樹

除了 2-3 樹，還有 2-3-4 樹，他的特點是在 2-3 樹的基礎上，還多了一個 4 節點，同樣，一個節點最多可以裝 3 個數據，要麼有 4 個節點，要麼沒有

B樹、B+樹、B*樹

B樹

B-tree 樹即 B 樹，B 是 Balanced 平衡的意思。B- 樹，這個也是 B 樹，只是翻譯的文字容易產生誤解。

上圖就是一個 B 樹，說明如下：

• B 樹的階：節點的最多 子節點 個數

  如：2-3 樹的階是 3，2-3-4 樹的階是 4

• B 樹的搜尋

  從 根節點開始，對節點內的關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的 兒子節點。

  然後重複，直到所對應的兒子節點指標為空，或則已經是葉子節點。

• 關鍵字集合分佈在整棵樹中

  即：葉子節點和非葉子節點都存放資料

• 搜尋有可能在非葉子節點結束

• 其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢

B + 樹

在 MySQL 中，有些索引就是用 B 樹或則 B+ 樹實現的。B+ 樹是 B 樹的變體，也是一種多路搜尋樹。

B + 樹說明：

1. B+ 樹的搜尋與 B 樹基本相同，區別是 B+ 樹只有到達葉子節點才命中（B 樹可以在非葉子節點命中），其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢

2. 所有 關鍵字都出現在葉子節點的連結串列中

   即：資料只能在葉子節點，也叫 稠密索引，且連結串列中的關鍵字（資料）恰好是有序的。

3. 不可能在非葉子節點命中

4. 非葉子節點相當於是葉子節點的索引，也叫 稀疏索引，葉子節點相當於是儲存（關鍵字）資料的資料層

5. 更適合檔案索引系統

6. B 樹和 B+ 樹有各自的應用場景，不能說 B+ 樹完全比 B 樹好。

B+ 樹的這種設計，應該是類似分段思想，比如：5,28,65，下面存放三個節點：

• 5-28 的段，為一個節點
• 28-65 的段，為一個節點
• 65 以上的段，為一個節點

比如查詢 30 ，直接找到在第二個節點中，然後往下一個目錄索引找，就很快能定位到資料。

B* 樹

B* 樹是 B+ 樹的變體，在 B+ 樹的非根和非葉子節點再增加指向兄弟的指標

說明：

• B* 樹定義了 非葉子節點 關鍵字個數至少為 (2/3)*M ，即塊的最低使用率為 2/3，而 B+ 樹的塊的最低使用率為 B+ 樹的 1/2

  M 是指樹的度，也就是層。

• 從第 1 個特點，可以看出 B* 樹分配新節點的概率比 B+ 樹要低，空間使用率更高。