【正睿2019暑假集訓】正睿889 小D與計算
task1
相當於要把第一位取反。可以先把暫存器\(1\)取反，放到暫存器\(2\)。然後對暫存器\(2\)，先左移\(63\)位，再右移\(63\)位。利用自然溢位，就相當於只保留了最低位。
需要\(3\)次操作。
task2
考慮三個暫存器\(x\), \(y\), \(z\)。當我們說，對\(x\), \(y\), \(z\)進行“計算”時，表示的其實是對這三個暫存器裡對應的值操作。
我們要求出\(x+y\)（也就是編號為\(x\)的暫存器和編號為\(y\)的暫存器裡對應的值相加）。
先考慮不進位的加法，也就是異或。先令\(z:=x\operatorname{xor}y\)。然後再考慮進位的部分，它等於\((x\operatorname{and}y)\ll 1\)
每輪操作，根據當前輪數的奇偶性不同，考慮是用\(x+y\)還是\(z+y\)。相當於每隔一輪，\(x\), \(z\)這兩個編號的含義會交換一下。這樣的好處是避免了每一輪結束時我強行set x z，這樣就多一次操作了。因為總輪數\(64\)是一個偶數，你會發現，最終答案一定儲存在\(z\)的位置。
因為每輪需要用到xor, and, shl共三次操作，所以總共用到\(3\times64=192\)
task3
依次考慮每一位（每次左移\(1\)位，再\(\operatorname{and} 1\)。這個\(1\)可以提前預處理好，方法是not t t, shr t 63）。對當前位，得到的是一個\(0\)或\(1\)的數字。呼叫task2裡的加法，讓答案加上這個數字即可。每次加法不需要加\(64\)位，因為答案數字很小，只需要加到當前可能的最高位即可。
大約需要\(1100\)次操作。
task4
考慮\(x\operatorname{xor}y\)的最高位，也就是\(x\), \(y\)第一個不同的位。如果我們能只保留這一位上的數字，不妨記為\(z\)
於是問題轉化為如何只保留一個數的最高位。
考慮如下的操作：
x|=(x>>1);
x|=(x>>2);
x|=(x>>4);
x|=(x>>8);
x|=(x>>16);
x|=(x>>32);
這樣\(6\)次操作後，實現的效果是：\(x\)的最高位以下，全都是\(1\)。原理其實就是倍增法：先把最高位的下一位變成\(1\)，再用這兩位一起去把下兩位變成\(1\)，以此類推。另外，雖然看上去是\(6\)步操作，但實際實現時，每步操作需要\(3\)條指令，所以這個過程共需要\(18\)條指令。
用這個方法，我們可以先把\(z\)的最高位以下全都變成\(1\)。然後，我們用三次操作，令\(z:=z\operatorname{xor}(z\gg1)\)。這樣就相當於只保留了\(z\)的最高位。拿新的\(z\)去和\(x\) \(\operatorname{and}\)。
最後判斷結果是否為\(0\)，可以再用一次倍增法，把最高位的\(1\)（如果有的話）推向最低位，然後左移\(63\)位再右移\(63\)位，就能只保留最低位的值。
共需要\(43\)次操作。
task5
我們還是依次考慮每一位。維護一個當前答案。如果當前位是\(1\)，就令：\(\text{ans}:=\text{ans}\times2+1\)。
這相當於要實現一個三目運算子：如果條件為真，就令\(\text{ans}\)等於\(x\)，否則令\(\text{ans}\)等於\(y\)（這裡\(x\), \(y\)，是一般性的表述。在這裡就等於\(\text{ans}\times2+1\)和\(\text{ans}\)）。然而我們沒有\(\texttt{if}\)語句，如何實現三目運算子呢？
考慮如果條件為真，就構造一個全\(1\)的數（也就是\(2^{64}-1\)），這可以用task4裡的倍增法來實現；條件不為真時，這個數自然為全\(0\)。然後用構造出的這個（全\(1\)或全\(0\)的）數，去\(\operatorname{and} x\)。再將其取反，去\(\operatorname{and}y\)。發現這兩個結果，必有一個是\(0\)，另一個是我們想要的值，所以將它們\(\operatorname{or}\)起來，賦給\(\text{ans}\)即可。
本task裡，這個“條件為真”，就相當於當前位上的數是否是\(1\)。所以具體來說就是把當前位上的數，用倍增法鋪滿所有位即可。
這只是一個大致的思路，樸素實現的話操作次數比較多（\(1600\sim 1800\)左右），需要做一些優化，例如：
- 從小到大考慮所有二進位制位，對於第\(i\)位，\(\text{ans}\)的位數一定小於等於\(i\)。所以不需要鋪滿所有\(64\)個二進位制位，只需要把前\(i\)位鋪滿即可。
- 發現三目運算要選擇的兩個數\(x\), \(y\)，只有一個二進位制位不同。所以不需要把條件取反再\(\operatorname{and}\)。直接先\(\operatorname{and}\)一遍較大的那個數（\(\text{ans}\times2+1\)），然後把兩者\(\operatorname{or}\)起來即可。
task6
可以選擇“氣泡排序”或者“選擇排序”。核心是要實現：if(x>y) swap(x,y);。
可以用task4實現比較。再用倍增法把比較的結果鋪滿所有位，記這個結果為\(t\)（\(t\in\{0,2^{64-1}\}\)）。
有了比較結果之後，剩下的又相當於一個三目運算子。不過樸素實現還是運算元量太大（\(7\)次）。考慮“交換”操作的特性。可以用\(\operatorname{xor}\)來實現。先搞一個\(z=x\operatorname{xor}y\)。那麼如果需要交換，就相當於讓兩個數都異或上\(z\)。所以可以令\(z:=z\operatorname{and}t\)。然後再把\(x\), \(y\)分別\(\operatorname{xor}z\)即可。共需要\(4\)次操作。
我實現下來，總共是\(2268\)次操作。常數大一些應該也不會超過\(2400\)。
製造答案的程式碼
//problem:ZR889
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>inline void ckmax(T& x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T>inline void ckmin(T& x,T y){x=(y<x?y:x);}
int get_highbit(ull x){
int ans=0;
while(x)ans++,x>>=1;
return ans;
}
int add(int xpos=1,int ypos=2,int anspos=3,int highbit=64) {
//不需要a[anspos]=0
//不還原a[xpos],a[ypos]
int x=xpos;
int y=ypos;
int z=anspos;
int cnt=0;
for(int i=1;i<=highbit;++i){
cout<<"xor "<<z<<" "<<x<<" "<<y<<endl;++cnt;
cout<<"and "<<y<<" "<<x<<" "<<y<<endl;++cnt;
swap(x,z);
if(i<highbit){
cout<<"shl "<<y<<" "<<1<<endl;++cnt;
}
}
if(x!=anspos){
cout<<"set "<<anspos<<" "<<x<<endl;++cnt;
}
// if(highbit!=64){
// cout<<"shl "<<anspos<<" "<<64-highbit<<endl;++cnt;
// cout<<"shr "<<anspos<<" "<<64-highbit<<endl;++cnt;
// }
return cnt;
}
int popcnt(int pos=1,int anspos=2){
//預設a[anspos]=0
//不還原a[pos]
int cnt=0;
int t1=40;
cout<<"not "<<t1<<" "<<t1<<endl;++cnt;
cout<<"shr "<<t1<<" "<<63<<endl;++cnt;
int v=39;
int s1=38;
int s2=anspos;
for(int i=1;i<=64;++i){
cout<<"and "<<v<<" "<<pos<<" "<<t1<<endl;++cnt;
//cout<<"set "<<s1<<" "<<anspos<<endl;++cnt;
cnt+=add(s1,v,s2,get_highbit(i));
swap(s1,s2);
if(i<64){
cout<<"shr "<<pos<<" "<<1<<endl;++cnt;
}
}
if(s1!=anspos){
cout<<"set "<<anspos<<" "<<s1<<endl;++cnt;
}
return cnt;
}
int push_highbit(int pos,int highbit=64){
//anspos=pos
//把最高位以下全部搞成1
int cnt=0;
int t=20;
for(int i=1;i<highbit;i<<=1){
cout<<"set "<<t<<" "<<pos<<endl;++cnt;
cout<<"shr "<<t<<" "<<i<<endl;++cnt;
cout<<"or "<<pos<<" "<<pos<<" "<<t<<endl;++cnt;
}
return cnt;
}
int compare(int xpos=1,int ypos=2,int anspos=3){
//不需要a[anspos]=0
//不會改變a[xpos],a[ypos]
int cnt=0;
int t1=40;
int t2=39;
cout<<"xor "<<t1<<" "<<xpos<<" "<<ypos<<endl;++cnt;
cnt+=push_highbit(t1);
cout<<"set "<<t2<<" "<<t1<<endl;++cnt;
cout<<"shr "<<t2<<" "<<1<<endl;++cnt;
cout<<"xor "<<t1<<" "<<t1<<" "<<t2<<endl;++cnt;//現在t1只有最高位是1了
cout<<"and "<<anspos<<" "<<t1<<" "<<xpos<<endl;++cnt;
cnt+=push_highbit(anspos);
//task6裡可以註釋掉:
cout<<"shl "<<anspos<<" "<<63<<endl;++cnt;
cout<<"shr "<<anspos<<" "<<63<<endl;++cnt;
return cnt;
}
int pow_of_popcount(int pos=1,int anspos=2){
//預設a[anspos]=0
int cnt=0;
int flagpos=40;
//cout<<"shl "<<flagpos<<" "<<64<<endl;++cnt;
cout<<"not "<<flagpos<<" "<<flagpos<<endl;++cnt;
cout<<"shr "<<flagpos<<" "<<63<<endl;++cnt;
int t1=39;
int t2=38;
int t3=37;
cout<<"set "<<t1<<" "<<flagpos<<endl;++cnt;
for(int i=1;i<=64;++i){
if(i!=1){
cout<<"set "<<t2<<" "<<anspos<<endl;++cnt;
cout<<"shl "<<t2<<" "<<1<<endl;++cnt;
}
cout<<"or "<<t2<<" "<<t2<<" "<<t1<<endl;++cnt;//t2=anspos<<1|1
cout<<"and "<<t3<<" "<<pos<<" "<<flagpos<<endl;++cnt;
cnt+=push_highbit(t3,i);
cout<<"and "<<t2<<" "<<t2<<" "<<t3<<endl;++cnt;
cout<<"or "<<anspos<<" "<<anspos<<" "<<t2<<endl;++cnt;
if(i<64){
cout<<"shl "<<flagpos<<" "<<1<<endl;++cnt;
}
}
return cnt;
}
int push_lowbit(int pos){
int cnt=0;
int t=20;
for(int i=1;i<=32;i<<=1){
cout<<"set "<<t<<" "<<pos<<endl;++cnt;
cout<<"shl "<<t<<" "<<i<<endl;++cnt;
cout<<"or "<<pos<<" "<<pos<<" "<<t<<endl;++cnt;
}
return cnt;
}
int bubble_sort(){
int cnt=0;
int t1=10;
int t2=11;
for(int i=1;i<9;++i){
for(int j=i+1;j<=9;++j){
cnt+=compare(i,j,t1);
cnt+=push_lowbit(t1);
cout<<"xor "<<t2<<" "<<j<<" "<<i<<endl;++cnt;
cout<<"and "<<t2<<" "<<t2<<" "<<t1<<endl;++cnt;
cout<<"xor "<<i<<" "<<i<<" "<<t2<<endl;++cnt;
cout<<"xor "<<j<<" "<<j<<" "<<t2<<endl;++cnt;
// cout<<"and "<<t2<<" "<<t1<<" "<<j<<endl;++cnt;
// cout<<"and "<<t3<<" "<<t1<<" "<<i<<endl;++cnt;
// cout<<"not "<<t1<<" "<<t1<<endl;++cnt;
// cout<<"and "<<t4<<" "<<t1<<" "<<j<<endl;++cnt;
// cout<<"and "<<t5<<" "<<t1<<" "<<i<<endl;++cnt;
//
// cout<<"or "<<j<<" "<<t3<<" "<<t4<<endl;++cnt;
// cout<<"or "<<i<<" "<<t2<<" "<<t5<<endl;++cnt;
}
}
return cnt;
}
void task1(){
freopen("calculate1.ans","w",stdout);
cout<<"not "<<2<<" "<<1<<endl;
cout<<"shl "<<2<<" "<<63<<endl;
cout<<"shr "<<2<<" "<<63<<endl;
cerr<<"cnt "<<3<<endl;
}
void task2(){
freopen("calculate2.ans","w",stdout);
int cnt=add();
cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
void task3(){
freopen("calculate3.ans","w",stdout);
int cnt=popcnt();
cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
void task4(){
freopen("calculate4.ans","w",stdout);
int cnt=compare();
cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
void task5(){
freopen("calculate5.ans","w",stdout);
int cnt=pow_of_popcount();
cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
void task6(){
freopen("calculate6.ans","w",stdout);
int cnt=bubble_sort();
cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
int main() {
//...
return 0;
}