劍指 Offer 10- I. 斐波那契數列

遞迴

時間複雜度指數級，很多值重複計算

動態規劃

每一項只計算一次，時間複雜度O（n）

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int MOD=1000000007;
        if(n<2)
        {
            return n;
        }
        int a=0,b=1,tmp=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            tmp=b;
            b=(a+b)%1000000007
 
;
            a=tmp;
        }
        return b;
    }
};

矩陣快速冪

斐波那契數列數列，可以認為是

轉化為一個矩陣的n次方和一個矩陣的乘積，優化的地方在於求n次方，我們可以使用快速冪，當然矩陣的快速冪比實數的快速冪複雜一點。

class Solution {
public:
    const int MOD = 1000000007;
    int fib(int n) {
       if(n<2)
       {
           return n;
       }
       vector<vector<long
 
>> q = {{1,1},{1,0}};
       vector<vector<long>> ans = pow(q,n-1);
       return ans[0][0];
    }
​
    vector<vector<long>> pow(vector<vector<long>>& a,int n)
    {
        vector<vector<long>> ret ={{1,0},{0,1}};
        while(n > 0)
        {
            
 
if(n & 1)
            {
                ret = multiply(ret,a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a,a);
        }
        return ret;
    }
​
    vector<vector<long>> multiply(vector<vector<long>>& a ,vector<vector<long>>& b)
    {
        vector<vector<long>> c = {{0,0},{0,0}};
        for(int i=0;i<2;i++)
        {
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                c[i][j]=(a[i][0]*b[0][j]+a[i][1]*b[1][j])%MOD;
            }
        }
        return c;
    }
};