\(\S\) 3.3 閉區間上連續函式的基本性質

定理3.3.1：有界性

設 \(f(x)\in C[a,b]\) 則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。也就是像下圖說的那樣

補充：無窮大於無界的關係

簡單的說無窮大就是是當 \(x\) 趨於某一值時函式值必須單調地趨於無窮大，無界就是當 \(x\) 趨於某一值時函式值不單調地或者單調地趨於無窮大，至於發散就是不收斂。

證明1：

方法很多，這裡的第一種方法使用 \(Bolzano-Weierstrass\) 定理和 \(Henie\) 定理

證1：（反證法）
假設 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上連續，但是無界. 則根據無界的定義

\[\forall \, M>0, \exists\,x_0 \in [a,b], \textrm{使得}\; |f(x)|>M \]

無界可以聯想到無窮大，但必須取離散的點作為自變數才能保證無窮大。由無窮大可以找矛盾點：在這些離散點的定義下存在極限等於實數。可以考慮 \(Bolzano\) ，然後因為在函式下討論序列問題，可以考慮用 \(Henie\) 。

則取 \(M\) 等於 \(1,2,\cdots,n\) ，有

\[1>0,\exists\,x_1\in[a,b], |f(x)|>1\\ 2>0,\exists\,x_2\in[a,b], |f(x)|>2\\ \vdots\\ n>0,\exists\,x_n\in[a,b], |f(x)|>n\\ \]

從而有 \(\mathop{lim}\limits_{n \to \infty}f(x_n)=\infty\)

現在我們得到了一個數列 \(\{x_n\}\) ，它不一定收斂，但它有界，則有 \(Bolzano\) 定理可得它一定有收斂子列，不妨記作 \(\{x_{n_k}\}\) ，收斂於 \(x_0\)

加之 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上連續（閉區間，則極限一定能夠等於當前點的函式值），結合 \(Henie\) 定理，\(\mathop{lim}\limits_{k\to \infty}x_{n_k}=x_0 \Longrightarrow\mathop{lim}\limits_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(x_0)\)

如果一個數列收斂於一個數或者無窮，那麼它的子列也收斂到同一個數或無窮。此處就產生了矛盾。

證畢

證明2

閉區間套

證2：（反證法）
假設 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上連續，但是無界，則對於區間 \([a,\frac{a+b}{2}]\) 和 \([\frac{a+b}{2},b]\) ，\(f(x)\) 一定在其中的某個區間內無界。

令這個子區間為 \([a_1,b_1]\) 則對於 \([a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]\) 和 \([\frac{a_1+b_1}{2},b_1]\) ，\(f(x)\) 一定在其中的某個區間內無界。

如此下去，則可以得到一個閉區間列 \(\{[a_n,b_n]\}\) 滿足：
  \(1. a_{n-1}\le a_n<b_n\le b_{n-1}\)

  \(2. \mathop{lim}\limits_{n\to\infty}b_n-a_n=0\)

  \(3. f(x)\) 在每個區間上無界

則由閉區間套定理，\(\exists!\,c\in[a_n,b_n],\forall n\in\mathbb{N}\) .

由條件 \(2\) 知 \(\exists n>0\) 使得 \([a_n,b_n] \subset U(c,\delta)\) 即 \(f(x)\) 無界。由連續函式的區域性有界性，\(\exists\, \delta>0\) ，使得當 \(\forall x\in U(c,\delta)\) 時，\(f(x)\) 有界。

這與條件 \(3\) 矛盾

證畢

定理3.3.2：最值定理

設 \(f(x) \in C[a,b]\) ，則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上必有最小值和最大值。

很好理解，同上圖。

證明：

由連續函式的有界性定理，\(f(x)\) 一定有界。

記 \(M=\mathop{sup}\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\) ， \(m=\mathop{inf}\limits_{x\in[a,b]} \{ f(x) \}\)
由上確界的定義，可得上確界是 \(f(x)\) 的一個聚點。則存在數列 \(\{ x_n \}\) 使得 \(\mathop{lim}\limits_{n\to\infty} f(x_n) = M\) 。


下面證明存在一個數 \(\xi\) 使得 \(f(\xi) = M\) :

設 \(\{ x_{n_k} \}\) 是 \(\{ x_n \}\) 的子列，因為 \(\{ x_{n_k} \}\) 有界，則 \(\{ x_{n_k} \}\) 必收斂，設收斂於 \(x_0\) 。

由 \(Henie\) 定理： \(\mathop{lim}\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = M\)

因為 \(f(x)\) 連續，所以有 \(\mathop{lim}\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)\)

故有 \(f(x_0) = M\) 即可以取到最大值。

同理可證最小值

證畢。

定理3.3.3：介值定理

設 \(f(x) \in C[a,b]\) ，設 \(m=\mathop{min}\limits_{x \in [a,b]} \{ f(x) \}\) ，\(M=\mathop{max}\limits_{x\in [a,b]}\{f(x)\}\) ，則對，\(\forall \,\eta \in [m,M]\) ，\(\exists \,\xi \in [a,b]\) 使得 \(f(\xi)=\eta\) ，也即 \(f([a,b]) = [m,M]\)

人話：若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 連續，則在最大最小值之間的任何一個數都至少對應一個 \(x\)

證明：

證： \(m = M\) 時，顯然成立。

\(m \ne M\) 時，\(\exists \, x_1,x_2 \in [a,b], \, f(x_1) = m, \, f(x_2) = M\) 。顯然當 \(\eta = m\) 或 \(M\) 時成立。

假設 \(x_1 < x_2\)，當 \(\eta \in (m,M)\) 時，定義：\(E = \{ x \in [x_1,x_2]: f(x) > \eta \}\)
顯然 \(x_1 \notin E\) ，故 \(x_1\) 是 \(E\) 的下界
顯然 \(x_2 \in E\) ，故 \(E\) 非空
因此 \(E\) 一定存在下界。
記 \(\xi = inf\,E\) ，則有 \(x_1 \le \xi <x_2\)
由連續函式的區域性保號性知：\(\exists \, \delta > 0, \forall \, x \in (x_1,x_1 + \delta) ,f(x) <= \eta\)
設 \(x_* \in (x_1,x_1 + \delta)\) 因為 \(\xi\) 是下界，故有 \(\xi \ge x_* > x_1\) 因此 \(\xi\) 嚴格大於 \(x_1\)

下證 \(f(\xi) = \eta\) :
由 \(E\) 的定義，\(f(\xi) \ge \eta\) 。
若 \(f(\xi) > \eta\) 則由 \(f(x)\) 在 \(\xi\) 處連續可得：\(\exists \, \delta > 0, \forall \, x \in (\xi - \delta,\xi + \delta) \cap [a,b],f(x) > \eta\)
但因為 \(\xi\) 為下界，故對於 \(x \in (\xi - \delta,\xi),f(x) \le \eta\) ，矛盾

證畢