• 砍竹子
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掌握流量密碼。

砍竹子

題目描述

有 \(n\) 棵高度為 \(d_i\) 的竹子。一次操作 \([l,r]\) 可以使 \([l,r]\) 之間的竹子高度減一，你不能操作高度為零的竹子。首先，你需要 最小化 將所有竹子砍沒的操作次數。另外，對於操作 \([l,r]\)，它的權值為 \((r-l+1)^2\)，你還需要計算，在最小化操作次數時，可以構造的最大與最小的權值和。

權值和對 \(10^9+7\) 取模。

\(n\le 3\cdot 10^5,0\le d_i\le 10^9\)。

解法

首先，這種區間權值加/減問題一般先差分看一下：令 \(c_i=d_i-d_{i-1}(1\le i\le n+1)\)

考慮證明。首先由於 \(d_0=d_{n+1}=0\)，\(\sum_{i=1}^{n+1}c_i=0\)。而且由於 \(\forall i\in[1,n],d_i\ge 0\)，我們可以保證 \(\forall i\in[1,n+1],\sum_{j=1}^ic_j\ge 0\)，這也就意味著每個小於零的 \(c\) 都可以和前面某些 \(c\)

接下來考慮如何最大/最小化權值和。

先給出構造方法：在遍歷到 \(c_i>0\) 時，將其塞進一個佇列。對於最大化，就是將 \(c_i<0\) 的數字儘量與隊尾匹配；反之，儘量與隊頭匹配。

證明可以用調整法。假設 \(i<i'<j<j'\)，現在 \((i,j),(i',j')\) 各進行 一次 匹配，我們需要證明這比 \((i,j'),(i',j)\) 各進行 一次 匹配更小。首先可以發現這兩種方案第二項的和減第一項的和相等，那麼實際上就是研究函式 \(y=x^2+(a-x)^2=2x^2-2ax+a^2\)

複雜度 \(\mathcal{O}(n)\)。