演算法介紹

線段樹是一種二叉樹，也就是對於一個線段，我們會用一個二叉樹來表示。
可以進行一些區間的修改和查詢。

演算法詳解

線段樹通用的build方法

void build(int k,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		sum1[k]=tree[l];//求和或者最值
		sum2[k]=tree[l]*tree[l];//平方和
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls(k),l,mid);
	build(rs(k),mid+1,r);
	pushup(k);//代表更新sum，這裡可以是sum[k]=sum[(ls(k)]+sum[rs(k)]。
}
 

因為要進行區間的查詢和修改,線段樹還需要兩個函式，check和update。check函式和update都用到了分治的思想。
簡單的應用是區間修改+單點查詢，區間查詢+單點修改。
區間修改單點查詢的思路是將區間標記，然後查詢時從上到下加起來，直到葉子節點。區間查詢+單點修改的思路是修改時直到葉子節點。單點的操作遞迴不會出現左右都有的情況，其餘與區間操作類似。
下面的程式碼都是都是對區間進行操作的。

int check(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l>=x&&r<=y)return sum[k];
	int mid=(l+r)>>1;
	int ans=0;
	if(x<=mid)ans+=check(ls(k),l,mid,x,y);
	if(y>mid)ans+=check(rs(k),mid+1,r,x,y);
	return ans;
}
 

void ADD(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
	if(l>=x&&r<=y)
	{
		sum[k]+=v*(r-l+1);
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)ADD(ls(k),l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)ADD(rs(k),mid+1,r,x,y,v); 
	pushup(k);
}

演算法進階

線段樹可以進行復雜的區間修改和區間查詢操作，主要要用到pushdown函式和懶標記。
懶標記是修改的因子，在對某個節點進行操作時，如果不需要對其兒子節點進行操作，就盡在這個節點進行懶標記，如果後邊會對兒子節點進行修改查詢操作，就要pushdown,向下傳遞懶標記。還有一些特殊的根號線段樹和除法線段樹。

例題

P1471 方差

題意

題目要求維護區間並求區間的方差，通過化簡可以得知，求解方差只需要維護區間平方和與區間和即可。

程式碼

int const maxn=1000005;
double sum1[maxn*2],sum2[maxn*2],tree[maxn],lazy[maxn*2];
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
void pushup(int k)
{
	sum1[k]=sum1[ls(k)]+sum1[rs(k)];	
	sum2[k]=sum2[ls(k)]+sum2[rs(k)];	
}
void build(int k,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		sum1[k]=tree[l];
		sum2[k]=tree[l]*tree[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls(k),l,mid);
	build(rs(k),mid+1,r);
	pushup(k);
}
void pushdown(int k,int l,int r)//pushdown的寫法一般是線段樹題目的核心
{
	int mid=(l+r)>>1;
	sum2[ls(k)]+=lazy[k]*lazy[k]*(mid-l+1)+2*lazy[k]*sum1[ls(k)];
	sum2[rs(k)]+=lazy[k]*lazy[k]*(r-mid)+2*lazy[k]*sum1[rs(k)];
	sum1[ls(k)]+=lazy[k]*(mid-l+1);
	sum1[rs(k)]+=lazy[k]*(r-mid);
	
	lazy[ls(k)]+=lazy[k];
	lazy[rs(k)]+=lazy[k];
	lazy[k]=0;
}
double check1(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l>=x&&r<=y)return sum1[k];
	
	if(lazy[k])pushdown(k,l,r);//關鍵程式碼 
	
	int mid=(l+r)>>1;
	double ans=0;
	if(x<=mid)ans+=check1(ls(k),l,mid,x,y);
	if(y>mid)ans+=check1(rs(k),mid+1,r,x,y);
	return ans;
}
double check2(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l>=x&&r<=y)return sum2[k];
	
	if(lazy[k])pushdown(k,l,r);//關鍵程式碼 
	
	int mid=(l+r)>>1;
	double ans=0;
	if(x<=mid)ans+=check2(ls(k),l,mid,x,y);
	if(y>mid)ans+=check2(rs(k),mid+1,r,x,y);
	return ans;
}
void ADD(int k,int l,int r,int x,int y,double v)
{
	if(l>=x&&r<=y)
	{
		sum2[k]+=v*v*(r-l+1)+2*v*sum1[k];
		sum1[k]+=v*(r-l+1);
		lazy[k]+=v;
		return ;
	}
	
	if(lazy[k])pushdown(k,l,r);//關鍵程式碼 
	
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)ADD(ls(k),l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)ADD(rs(k),mid+1,r,x,y,v); 
	pushup(k);
}
main(void)
{
	int n=read();
	int m=read();
	int x,y,cmd;
	double k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf",&tree[i]);
	}
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{

		scanf("%d%d%d",&cmd,&x,&y);
		if(cmd==1)
		{
			scanf("%lf",&k);
			ADD(1,1,n,x,y,k);
		}
		if(cmd==2)
		{
			printf("%.4lf\n",check1(1,1,n,x,y)/(y-x+1));
		}
		if(cmd==3)
		{
			double as,pfs;
			as=check1(1,1,n,x,y);
			pfs=check2(1,1,n,x,y);
			double l=y-x+1;
			double ans=pfs/l-(as/l)*(as/l);
			printf("%.4lf\n",ans);
		}
	}
}

P3373 【模板】線段樹2

題意

維護區間的乘積和加法，兩個懶標記，一個為乘積因子，一個為加法因子

程式碼

const int maxn=200010;
int p,a[maxn],sum[4*maxn],mul[4*maxn],add[4*maxn];
inline void qm1(int k)
{
	
	sum[ls(k)]%=p;
	mul[ls(k)]%=p;
	add[ls(k)]%=p;
	
	sum[rs(k)]%=p;
	mul[rs(k)]%=p;
	add[rs(k)]%=p;
}
inline void build(int k,int l,int r)
{
	mul[k]=1;
	if(l==r)
	{
		sum[k]=a[l];
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	build(ls(k),l,mid);
	build(rs(k),mid+1,r);
	sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)];
}
inline void pushdown(int k,int l,int r)
{
	int mid=(l+r)/2;
	sum[ls(k)]*=mul[k];
	sum[rs(k)]*=mul[k];
	
	sum[ls(k)]+=add[k]*(mid-l+1);
	sum[rs(k)]+=add[k]*(r-mid);
	
	mul[ls(k)]*=mul[k];
	mul[rs(k)]*=mul[k];
	
	add[rs(k)]=add[rs(k)]*mul[k]+add[k];
	add[ls(k)]=add[ls(k)]*mul[k]+add[k];
	qm1(k);
	add[k]=0;
	mul[k]=1;
}
inline void ADD(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
	if(x<=l&&y>=r)
	{
		add[k]+=v;
		sum[k]+=v*(r-l+1);
		qm1(k);
		return ;
	}

	pushdown(k,l,r);
	int mid=(l+r)/2;
	if(x<=mid)ADD(ls(k),l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)ADD(rs(k),mid+1,r,x,y,v);
	sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)]; 

}
inline void MUL(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
	if(x<=l&&y>=r)
	{
		add[k]*=v;//規定的規則是先加後乘，想要表示先乘後加必須要把加法標記更新 
		mul[k]*=v;
		sum[k]*=v;
		qm1(k);
		return ;
	}
	pushdown(k,l,r);
	int mid=(l+r)/2;
	if(x<=mid)MUL(ls(k),l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)MUL(rs(k),mid+1,r,x,y,v);
	sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)];
}
inline int check(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(x<=l&&y>=r)return sum[k];
	pushdown(k,l,r);
	int mid=(l+r)/2;
	int ans=0;
	if(x<=mid)ans+=check(ls(k),l,mid,x,y);

	if(y>mid)ans+=check(rs(k),mid+1,r,x,y);
	return ans%p; 
}
main(void)
{
	int n,m,cmd,x,y,k;
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
	_1for(i,n)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	build(1,1,n);
	_1for(j,m)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&cmd,&x,&y);
		if(cmd==1)
		{
			scanf("%lld",&k);
			MUL(1,1,n,x,y,k);
		}
		if(cmd==2)
		{
			scanf("%lld",&k);
			ADD(1,1,n,x,y,k);
		}
		if(cmd==3)
		{
			printf("%lld\n",check(1,1,n,x,y)%p);
		}
	}
}