剩餘類、完全剩餘系和簡化剩餘系
剩餘類（同餘類）
定義
給定一個正整數 \(n\)，把所有整數根據模 \(n\) 的餘數 \(r\in[0,n-1]\) 分為 \(n\) 類，每一類數都是諸如 \(C_r=n*x+r,\ x\in Z\) 的形式，這樣的一類數所構成的一個集合稱為模 \(n\) 的剩餘類。
例如我們取 \(n=1145,\ r=14\)，則 \(C_{14}=1145x+14\)，為模 \(1145\) 的剩餘系，\(-1131,14,1159\) 都是其中的元素。
性質
剩餘類的性質都很顯然，沒什麼好說的，直接過了。
完全剩餘系（完系）
定義
給定一個正整數 \(n\)
例如我們取 \(n=5\)，則 \(\{0,1,2,3,4\}\) 是一個模 \(5\) 的完全剩餘系，\(\{5,1,8,-3,14\}\) 也是一個模 \(5\) 的完全剩餘系。
性質
對於一個模 \(n\) 的完全剩餘系 \(r\)，若有 \(a\in Z,\ b\in Z\)，且 \(\gcd(n,a)=1\)
證明：
命題 \(1\) ：如果 \(r\) 是一個模 \(n\) 的剩餘系，那 \(r_i+b\) 一定也構成一個模 \(n\) 的完全剩餘系。
反證法，若 \(r_i+b\) 不構成一個模 \(n\) 的完全剩餘系，則存在兩個元素同餘 \(n\)，即有 \(r_x+b\equiv r_y+b\pmod n\)，同餘式兩邊同時減去 \(b\)，有 \(r_x\equiv r_y\pmod n\)，與 \(r\) 是一個模 \(n\) 的剩餘系這一前提矛盾，命題 \(1\)
得證。命題 \(2\)：若 \(r\) 是一個模 \(n\) 的完全剩餘系，對於任意的整數 \(a\)，若有 \(\gcd(a,n)=1\)，則 \(a*r_i\) 也構成一個模 \(n\) 的完全剩餘系。
同樣是反證法，若結論不成立，則有 \(a*r_x\equiv a*r_y\pmod n\)，因為 \(\gcd(a,n)=1\)，所以一定存在 \(a\mod p\) 的逆元 \(inv(a)\)，同餘式兩邊同時乘以 \(inv(a)\)，則有 \(r_x\equiv r_y\pmod n\)，與前提矛盾，命題 \(2\) 得證。
這倆個命題都得證，所以 \(a*r_i\) 構成一個模 \(n\) 的完全剩餘系，\(a*r_i+b\) 也構成一個模 \(n\) 的完全剩餘系，故性質得證。
簡化剩餘系（既約剩餘系、簡系）
定義
給定一個正整數 \(n\)，有 \(\varphi(n)\) 個不同的、模 \(n\) 的餘數 \(r\) 與 \(n\) 互質的剩餘類，從這 \(\varphi(n)\) 個剩餘類中各取出一個元素，總共 \(\varphi(n)\) 個數，將這些數構成一個新的集合，則稱這個集合為模 \(n\) 的完全剩餘系。
例如我們取 \(n=10\)，則 \(\{1,3,7,9\}\) 是一個模 \(10\) 的簡化剩餘系；取 \(n=5\)，則 \(\{1,8,7,14\}\) 是一個模 \(5\) 的簡化剩餘系，顯然模 \(n\) 的簡化剩餘系中所有的數都與 \(n\) 互質。
性質
對於一個模 \(n\) 的完全剩餘系 \(r\)，若有 \(a\in Z\) 且 \(\gcd(n,a)=1\)，則 \(a*r_i\) 也構成一個模 \(n\) 的完全剩餘系。證明跟上面的差不多，反證就完了嗷。