Black-Litterman，貝葉斯框架下的資產配置利器
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1 引言
毫無疑問，馬科維茨（Harry Markowitz）的現代投資組合理論（Modern Portfolio Theory）對於量化投資有著開天闢地的作用。它通過“均值 — 方差”最優化來確定最佳資產配置組合，同時考慮收益的最大化和風險的最小化（Markowitz 1952）。馬科維茨也因此獲得 1990 年諾貝爾經濟學獎。
然而，令人倍感意外的是，“均值 — 方差”法雖然在數學上十分優雅，但它在投資實務中的影響卻遠不及它在理論上的名聲卓著。究其原因，是因為它給出的最佳投資組合對該模型的核心輸入之一即投資品的期望收益率非常敏感；而且期望收益率很難準確預測。
為解決這個問題，兩位量化投資界的先驅 —— 高盛的 Fischer Black 和 Robert Litterman 發明了大名鼎鼎的Black-Litterman 資產配置模型（Black and Litterman 1992）。該模型以市場均衡假設推出的資產收益率為出發點，結合投資者對不同投資品收益率的主動判斷，最終確定投資品的收益率和最佳的投資組合配置。
本文就來介紹 Black-Litterman 模型，它的核心是對收益率進行貝葉斯收縮。首先讓我們來看看馬科維茨的“均值 — 方差”模型為什麼在實際中不好用。
2 “均值 — 方差”模型：冰冷的現實
假設我們要在 N 個投資品之間進行資產配置。馬科維茨的現代資產配置理論以這些投資品的期望收益率和協方差矩陣作為輸入，通過最優化下列目標函式求出最佳的投資組合：
其中表示投資品的期望收益率向量，表示投資品的協方差矩陣，表示投資者的風險厭惡係數，則是投資品在投資組合中的配置權重。在不考慮任何約束的情況下，該問題的最優解，即最佳資產配置為：
該模型之所以在實際中被專業投資機構詬病有兩個原因。第一是因為它的輸入非常嚴苛：投資者必須提供待配置投資品的期望收益率和協方差。一旦預測的數值非常離譜，那麼資產配置效用的最大化就變成誤差的最大化。對於協方差，通過歷史資料計算尚且能用，但是對於未來的期望收益率的準確預測卻難上加難。二者相較，期望的預測比協方差的預測更加重要
Chopra and Ziemba (1993) 指出，收益率期望的誤差對資產配置的影響比協方差的影響高一個數量級。
第二個原因是，它求出的最佳資產配置權重對期望收益率非常敏感。當期望收益率有哪怕僅僅一點變化時，它給出的最佳配置較之前的配置可能發生很大的改變，這樣的結果很難被投資者所接受。
來看一個例子。
假設我們的投資品來自下列七個國家的股市：澳大利亞、加拿大、法國、德國、日本、英國和美國。通過歷史資料得到這些投資品收益率的協方差矩陣如下（注：本文中的所有資料都是假想的，僅做示意之用）：
對於收益率，由於不好預測，我們假設這七個國家的期望收益率都是 5%，並假設風險厭惡係數為 2.5。根據“均值 — 方差”最優化，得到的最優資產配置權重如下圖中的藍色柱狀圖所示。按照該配置，我們大幅做空德國，微微做空法國，並做多其他國家。
現在，假設我們得到了最新靠譜的研報分析，表明德國的期望收益率將會達到 6%，而法國和英國則僅有 4%，其他國家不變。帶著新的輸入，重新使用“均值 — 方差”最優化，新的結果如下圖中綠色的柱狀圖所示。
比較藍色和綠色的柱狀圖可見，隨著我們對德國、法國以及英國預期收益率的調整，最佳的權重也發生了變化。然而，權重的變化發生的非常劇烈（對收益率敏感），我們對這些變化感到非常費解：
- 我們之前大幅做空德國，做多英國。然而在微調了收益率之後，卻大幅做多德國，做空英國並大幅做空法國。收益率微調前後最優配置權重的變化幅度令我們驚訝。
- 我們的收益率預期僅僅針對德國、法國和英國，對其他四個國家沒有變化。然而新的最優配置不但改變了那三個國家，更是改變了其他四個國家。比如，新的最優組合中增加了對美國和日本的配置。為什麼對歐洲國預期收益率的改變會影響美國和日本？這從直覺上令人難以理解。
這個例子強調了“均值 — 方差”模型的兩個問題：
- 人們很難有效的預測期望收益率；
- 最優資產組合配置對輸入非常敏感，結果往往難以被人理解。
為了解決這兩個問題，Black 和 Litterman 於 1992 年提出了 Black-Litterman 模型。
3 收益率的貝葉斯收縮
與“均值 — 方差”模型相比，Black-Litterman 模型最大的區別在於對收益率的預測。在收益率預測方面，Black-Litterman 最本質的核心是它在貝葉斯框架下使用先驗收益率以及新息得到後驗收益率，它是一種對收益率的貝葉斯收縮（Bayes shrinkage）。得到收益率後，Black-Litterman 模型同樣通過求解第二節中的最優化問題確定最優的資產配置權重。
收益率的貝葉斯收縮是《貝葉斯統計》的一個經典應用。我們在《收益率預測的貝葉斯收縮》中介紹過這個技術。經典的貝葉斯收縮定義如下：
貝葉斯收縮以某種方法得出的期望收益率作為先驗（prior），以最近 T 期收益率資料求出樣本期望收益率作為新息（new observation），結合前兩者最終計算出後驗期望收益率（posterior）。該方法以最優的比例使基於新息的預測向先驗預測“收縮”，這個最優的比例使得後驗期望收益率的誤差最小。
在數學上，上述方法的表示式如下：
其中，及分別表示先驗、後驗、新息期望收益率向量；是先驗期望收益率的協方差矩陣，為新息期望收益率的協方差矩陣（為收益率的樣本協方差矩陣、T 為樣本數即期數）；-1 次方表示對矩陣求逆。
不難看出，後驗期望收益率就是 先驗和新息的加權平均，而這兩者的權重與它們各自的精度（由協方差矩陣的逆衡量）有關，這就是貝葉斯收縮的核心。在現實中使用上述方法時，對於期望收益率的先驗，可以採用因子法或者經驗法估計，不同的方法各有千秋。瞭解了貝葉斯收縮之後，我們馬上來看解釋 Black-Litterman 模型。
4 貝葉斯框架下的 Black-Litterman 模型
Black-Litterman 模型的本質就是一種收益率的貝葉斯收縮，只不過無論是期望收益率的先驗還是新息，都是從投資的實務出發的（畢竟提出這個的人來自高盛，出發點是為了解決實際資產配置中遇到的問題）。
先來看看先驗期望收益率。
Black-Litterman 模型從市場的供需出發，認為投資品在整個市場中按其市值的佔比體現了當前市場供需關係的均衡狀態（equilibrium）。投資品市值與市場總市值的比值就是該投資品在這個市場均衡組合中的權重，記為。在這個基礎上，模型進一步假設各投資品的在市場組合中的配置比例是由投資者追求效用的最大化（即第二節中的最優化問題）所致，並由反推出市場均衡狀態下各投資品的收益率，把它作為先驗：
對於先驗期望收益率的協方差矩陣，模型假設它和收益率的協方差矩陣有著同樣的結構，但是數量級要小很多。它用一個很小的標量作為縮放尺度，得到先驗期望收益率的協方差矩陣。
再來看看新息期望收益率。
Black-Litterman 模型將新息定義為投資者對於投資品收益率相對強弱的主動判斷（稱為 views，即觀點）。舉個例子，有兩個投資品 A 和 B，我們通過分析認為 A 比 B 的期望收益率要高 2%，這意味著做多 A 並同時做空 B 的投資組合可以獲得 2% 的收益。在數學上，假設 E[A] 和 E[B] 表示 A 和 B 的新息期望收益率，則上述觀點可以表述為：
其中是 K × N 矩陣（K 表示 views 的個數；N 表示投資品的個數；本例中）；μ 表示新息期望收益率向量（本例中是）；是 K 階向量（本例中），表示每個 view 中投資品收益率相對強弱的大小。
這個方法的好處是，它事實上根本無需投資者來猜（在稍後的推導中可以看到，不出現在貝葉斯收縮的表示式中），而只需要投資者提供矩陣和向量來表達自己的觀點。
現實中，投資者往往對自己的 views 並不是 100% 確定。這時，我們可以把收益率相對強弱的取值理解為來自一個正態分佈，並通過該分佈的標準差來描述主動判斷的不確定性。例如在上面的例子中，我們可以說 A 比 B 的期望收益率要高 2%，而標準差為 3%。在數學上，該模型使用 K × K 的矩陣記錄 views 的不確定性。模型假設 views 之間相互獨立，因此 Ω 是一個對角陣，對角線上的元素表示對這 K 個 views 的方差。最後，通過 P 將的逆矩陣轉化為（N × N 矩陣）作為新息期望收益率的精度。
把先驗和新息期望收益率套到貝葉斯收縮的框架中就得到 Black-Litterman 模型下的後驗期望收益率：
上面的推導中用到了，從而巧妙的將從貝葉斯收縮的表示式中消除了。求出後驗期望收益率之後，帶入第二節的最優化問題中，便可以求出 Black-Litterman 模型下的最優投資組合權重：
下面就來幾個 Black-Litterman 模型應用的例子。
5 Black-Litterman 模型應用舉例
我們仍然假設市場中包括本文第二節提到的七個國家的股市。它們的協方差矩陣已在第二節給出。假設它們在市場均衡狀態下的權重如下表所示。進一步的，另標量且風險厭惡係數。根據、以及協方差矩陣可以求出先驗期望收益率：
首先假設我們只有一個 view：預期德國的期望收益率較英國和法國期望收益率的等權重之和高 5%，我們對這個判斷的標準差為 2%。
上述 view 轉換成 Black-Litterman 模型的引數有：
應用 Black-Litterman 模型得到的後驗期望收益率（綠色）與作為先驗的市場均衡狀態期望收益率（藍色）比較如下。乍一看去，這個結果似乎令人意外，因為我們的新息是德國會比英國和法國更好，但是在後驗收益率中，法國和英國的收益率不降反升。這是因為新息僅僅說明英法兩國會比德國差，它並不意味著英、法兩國收益率的絕對取值較先驗會減小。由於英法兩國的收益率和整個市場組合的收益率正相關，且這個新息提高了市場組合的預期，因此英法兩國的後驗收益率也提高了。上述論述對其他國家的後驗收益率同樣成立。
再來看看 Black-Litterman 模型下的最優投資組合配置：
上圖中，左圖比較了最優配置和市場均衡配置；右圖顯示了這二者的差別。這個結果清晰的說明，我們關於德國、英國、法國收益率的判斷僅僅影響了它們三個國家在最優投資組合中的權重。由於我們更看好德國，因此它的權重更高，而英法兩國的權重相應相抵。其他國家的權重等於市場均衡狀態的權重，不受我們的主觀判斷的影響。這樣的配置結果非常符合投資者的預期，較馬科維茨的“均值 — 方差”法，Black-Litterman 模型的最優配置顯然更容易被投資者接受。
投資者的主動判斷通過（描述相對強弱的幅度）和（描述投資者對 views 的自信程度）兩個引數影響著最優的資產配置。為了說明這一點，假設在上面的例子中，首先把從 0.05 提高到 0.08，即我們判斷德國較英法兩國的超額收益更多。在最優的資產配置中，我們更加超配德國，低配法國和英國：
再來，我們保持，但是將從 0.04 減小到 0.01，即我們對自己的判斷更加有信心。同樣，在最優的資產配置中，我們更加超配德國，低配法國和英國（我們甚至做空了法國）：
最後，來看看有多個 views 的情況。假設除了上述德國、法國、英國的 view，我們有另外一個 view：加拿大相對於美國可以獲得 3% 的超額收益，判斷的標準差為 2%。同時考慮這兩個 views，有：
由 Black-Litterman 模型得到的最優配置如下圖所示。由於加入了新的關於加拿大和美國的 view，我們超配了加拿大而低配了美國。由於上述兩個 views 均不涉及澳大利亞和日本，它們在投資組合中的權重不受影響。
6 結語
Black-Litterman 資產配置模型解決了馬科維茨模型在應用中的兩個痛點：
- 投資品的期望收益率很難預測；
- 模型對輸入引數太敏感，導致投資者無法理解模型給出的最佳投資組合中投資品的配置權重。
Black-Litterman 模型從市場均衡配置出發，有效的結合了投資者對投資品的主動判斷，求出的配置結果符合投資者的預期。在華爾街，Black-Litterman 模型在高盛以及其他金融機構都有著廣泛的應用。
But, and this is a BIG but，該模型在投資實務中能夠帶來超額收益的前提是投資者提供的 views 比較準確。這顯然是以深入瞭解各投資品背後的邏輯以及大量細緻的資料分析為前提的。如果 views 很離譜，那麼即便是 Black-Litterman 模型給出的最佳配置權重也無能為力。
我們有理由相信，擁有眾多專業人士的大型金融機構在提供主動 views 方面有著獨到的見解。但預測未來有時又談何容易？至少在預測黃金這件事兒上，高盛就常常南轅北轍。
本文簡要介紹了 Black-Litterman 模型，並通過一系列例子說明如何使用它。在這些例子中，我們均考慮的是無約束優化。在實際中進行資產配置時，投資者往往需要考慮來自風險、波動率、預算等方面的限制。在這種情況下，根據後驗收益率求解最優化資產配置時需要考慮上述限制。感興趣的讀者可以進一步閱讀 He and Litterman (1999)。
參考文獻
- Black, F. and R. Litterman (1992). Global Portfolio Optimization.Financial Analysts Journal, Vol. 48(5), 28 – 43.
- Chopra, V. K. and W. T. Ziemba (1993). The effort of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice.Journal of Portfolio Management, Vol. 19(2), 6 – 11.
- He, G. and R. Litterman (1999).The intuition behind Black-Litterman model portfolios.Technical note, Goldman Sachs Quantitative Resources Group.
- Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection.The Journal of Finance, Vol. 7(1), 77 – 91.