題意

給定一張連通無向簡單圖 \(G\)，每條邊有一個邊權。
給定正整數 \(k\)，你需要找到 \(G\) 的一條從 \(1\) 到 \(n\) 的路徑，設該路徑的長度為 \(l\)，你需要使得這條路徑中邊權前 \(\min \left\{ k, l \right\}\) 大的邊的邊權總和儘可能小。

題解

這種玩意看著人傻了， 一點想法沒有， 瞟了下yhx的題意下面幾行發現好像是減什麼東西才有想法。

考慮列舉一條邊作為第\(k\)大， 那麼如果把所有的邊減去這個\(w_k\)並對\(0\)取\(\max\)， 然後如果把權補回來， 那麼就求出了一條合法的路徑。

考慮直接大力列舉每條邊和初始不變的情況計算， 那麼\(Ans = \min_{w_k}\{Dis_{n} + k \times w_k\}\)

下面考慮證明這個事情。

令\(l\)表示答案的路徑長度。

• 若\(l \geq k\)。
  • 如果路徑上有\(> k\)條變化後有權值的邊，那麼當前答案會\(\geq ans\)。因為多出來的邊應該不算。
  • 如果路徑上有\(\leq k\)條變化後有權值的邊，那麼當前答案會\(\geq ans\)。因為多加了。
  • 噹噹前列舉的\(w\)恰好是答案路徑的\(w_k\)時， 當前答案就是\(ans\)， 所以正確。
• 若\(l < k\)
  • 當\(w = 0\)的時候答案正確。

綜上可以發現在沒有取到答案的時候我們的做法會使答案變大， 恰好取到的時候會是答案， 直接最短路即可。