Problem Statement

給定三個正整數 \(N, M, K\) 和非負整數 \(X\) 。

求出有多少個滿足以下條件的長為 \(N\) 的非負整數列 \(A = (A_1, A_2, \cdots, A_N)\) 個數，答案對 \(\rm 998244353\) 取模：

• \(0\le A_i \le 2 ^ M - 1\ (1\le i\le N)\)
• 數列 \(A\) 中任意選擇 \(K\) 個位置 \(i_1, i_2, \cdots, i_K \ (i_a\neq i_b)\) ，滿足 \(\min\{A_{i_1}\oplus A_{i_2}\oplus\cdots\oplus A_{i_K}\} = X\)
  。

其中 \(\oplus\) 運算代表 C++ 中的按位或運算。

Constraints

\(1\le N, M\le 200\) ，\(1\le K \le N\) ，\(0\le X\le 2 ^ M - 1\) ，\(X\) 以二進位制字串的形式給出。

solution

從高到低按位貪心，發現對於每一層，如果有 \(\ge K\) 個 0 那麼這一位必定為 0 ，否則為 1 。

那麼貪心取 0 的時候，那麼所有該層為 1 的元素都不能取了，所以在考慮下面層的時候，這些元素就不能考慮了。

對於這個過程設計一個 DP ，設 \(f(i, j)\) 表示從高到低到第 \(i\) 位，還有 \(j\)

對於貪心的方案，設計兩種轉移:

• \(X\) 該位為 0 ，設 \(k\) 為該層 1 的個數。
• • \(f(i, j) \leftarrow \displaystyle\sum_{k = 0} ^ {n - K} f(i + 1, j + k) \times \dbinom{j + k}{j} \times 2 ^ {k(i - 1)}\)
• \(X\) 該位為 1 ，設 \(k\) 為該層 0 的個數。
• • \(f(i, j) \leftarrow f(i + 1, j) \times \displaystyle{\sum_{k = 0} ^ {K - 1}}\dbinom{j}{k}\)

答案就是 \(\sum f(0, i)\) 。

Mint fac[N << 1], ifac[N << 1];
inline void table(int lim) {
	fac[0] = Mint(1);
	forn (i, 1, lim) fac[i] = fac[i - 1] * Mint(i);
	ifac[lim] = q_pow(fac[lim]);
	form (i, lim - 1, 0) ifac[i] = ifac[i + 1] * Mint(i + 1);
}
inline Mint C(int n, int r) {
	if (n < 0 || r < 0 || n < r) return Mint(0);
	return fac[n] * ifac[r] * ifac[n - r];
}
int n, m, K; char X[N]; Mint f[N][N];
inline void solve() {
	Rdn(n, m, K); Rdn(X); table(max(n, m) << 1);
	reverse(X, X + m);
	f[m][n] = Mint(1);
	form (i, m - 1, 0) forn (j, 0, n) {
		if (X[i] == '0') {
			if (j >= K) forn (k, 0, n - K) if (j + k <= n) {
				f[i][j] += f[i + 1][j + k] * C(j + k, k) * q_pow(Mint(2), k * i);
			}
		} else {
			forn (k, 0, K - 1) f[i][j] += f[i + 1][j] * C(j, k);
		}
	}
	Mint res(0);
	forn (i, 0, n) res += f[0][i];
	Wtn(res.res, '\n');
}