不定積分（三角）

problem1

\[\int\frac{dx}{sin2x+2sinx} \]

solution1.1(換元)

\[\int\frac{dx}{sin2x+2sinx}=\int\frac{dx}{2sinx(1+cosx)}=\frac{1}{4}\int\frac{d(\frac{x}{2})}{sin\frac{x}{2}cos^3\frac{x}{2}}=\frac{1}{4}\int\frac{d(tan\frac{x}{2})}{tan\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}}= \frac{1}{4}\int\frac{1+tan^2\frac{x}{2}}{tan\frac{x}{2}}d(tan\frac{x}{2})=\frac{1}{8}tan^2\frac{x}{2}+\frac{1}{4}ln\vert tan\frac{x}{2} \vert +C \]

solution1.2

\[\int\frac{dx}{sin2x+2sinx}=\int\frac{dx}{2sinx(1+cosx)}=\int\frac{sinxdx}{2(1-cos^2x)(1+cosx)}\\=-\frac{1}{8}\int[\frac{1}{1-cosx}+\frac{3+cosx}{(1+cosx)^2}]dcosx=\frac{1}{8}ln\frac{1-cosx}{1+cosx}+\frac{1}{4(1+cosx)}+C \]

problem2

\[\int(arcsinx)^2dx \]

solution2.1

\[\int(arcsinx)^2dx=x(arcsinx)^2-\int\frac{2xarcsinx}{\sqrt{1-x^2}}dx\\=x(arcsinx)^2-\int2arcsinxd{\sqrt{1-x^2}}\\=x(arcsinx)^2-2\sqrt{1-x^2}arcsinx-2x+C \]

solution2.2

\[u=arcsinx,x=sinu,dx=cosudu \]\[\int(arcsinx)^2dx=\int u^2cosudu=\int u^2dsinu=u^2sinu-\int 2usinudu\\=u^2sinu+2ucosu-2sinu+C=x(arcsinx)^2+2\sqrt{1-x^2}arcsinx-2x+C \]

problem3

\[\int\frac{xe^{arctanx}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx \]

solution3.1

\[\int\frac{xe^{arctanx}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\int\frac{x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}de^{arctanx}\\=\frac{xe^{arctanx}}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}-\int\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}de^{arctanx}\\=\frac{xe^{arctanx}}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}-\frac{e^{arctanx}}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}-\int\frac{xe^{arctanx}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx \]

小小的移向整理一哈

\[\int\frac{xe^{arctanx}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{xe^{arctanx}}{2(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}-\frac{e^{arctanx}}{2(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}+C \]

solution3.2

令

\[x=tant \]\[\int\frac{xe^{arctanx}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\int e^tsintdt \]\[\int e^tsintdt=-e^tcost-\int e^tcostdt=-e^tcost+e^tsint-\int e^tsintdt \]\[\int\frac{xe^{arctanx}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{xe^{arctanx}}{2(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}-\frac{e^{arctanx}}{2(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}+C \]