noip2021 訓練4 做題記錄
P3523 [POI2011]DYN-Dynamite
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Solution
經典樹上 \(dp\)。
首先二分 \(mid\) 表示最遠的距離。
設 \(f_{x}\) 表示距 \(x\) 最遠的未被覆蓋的關鍵點到 \(x\) 的距離，\(g_x\) 表示 \(x\) 到該子樹中的選定點的最小距離。
初值顯然：\(f_x = -inf\)，\(g_x = inf\)
轉移方程：\(f_x = max \{ f_y + 1 \}\)，\(g_x = max\{ g_y + 1\}\)
但是並不是所有的點都能被選，所以要分類討論一下：
- \(f_x + g_x \leq mid\)，可以直接覆蓋，\(f_x = -inf\)。
- \(f_x = mid\)，此時選 \(x\)，那麼 \(f_x = -inf\)，\(g_x = 0\)，\(ans++\)。
- \(g_x > mid\) 且 \(d_x = 1\)，這時就要扔給 \(fa_x\) 處理，所以 \(f_x = max\{ f_x, 0\}\)
P2324 [SCOI2005]騎士精神
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Solution
\(IDA*\) 板子題，樂觀估價函式就是 \(5 \times 5\) 的目標矩陣和當前 dfs 到的矩陣中不同的點的個數。
爆搜即可。
P3205 [HNOI2010]合唱隊
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Solution
經典區間 \(dp\)。
設 \(f_{i,j}\) 表示選了區間 \([i,j]\) 且最後一個人從左邊進來的方案數，\(g_{i,j}\) 表示最後一個人從右邊進來的方案數。
轉移就很 easy 了：
\(f_{i,j} = f_{i + 1, j} \times (a_i < a_{i + 1}) + g_{i + 1, j} \times (a_i < a_{j})\)
\(g_{i, j} = g_{i, j - 1} \times (a_{j} > a_{j - 1}) + f_{i, j - 1} \times (a_j > a_i)\)
P2513 [HAOI2009]逆序對數列
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Solution
看到名字，本來以為又是樹狀陣列維護什麼東西，結果不是……
看了一眼題解發現要 \(dp\) 一下子，\(dp\) 就 \(dp\) 吧。
我們設 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 的全排列中，逆序對數為 \(j\) 的個數。
我們考慮把 \(i\) 插入到 \(i - 1\) 的全排列中，列舉這次插入增加了 \(k\) 個逆序對。
那麼轉移方程就是：
\[f_{i, j} = \sum\limits_{k = max\{0, j - i + 1\}}^j{f_{i - 1, k}} \]樸素的轉移是 \(O(n^2)\) 的，考慮優化。
優化也很簡單，發現 \(k\) 是從 0 開始列舉的，做個字首和即可。
P2592 [ZJOI2008]生日聚會
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模擬賽上考了原題，還是比較 easy 的。
發現數據範圍還是很小的，考慮四維 \(dp\)。
設 \(dp_{i, j, c1, c2}\) 表示安排了 \(i\) 名男生，\(j\) 名女生，且字尾男生數量減去女生數量最大是 \(c1\)，最大字尾女生減男生數量是 \(c2\)。
轉移就比較顯然了，用刷表法（邊界好處理一點）。
在最右邊安排一名男生：
\[dp_{i + 1, j, c1 + 1, max\{ 0, c2 - 1\}} += dp_{i, j, c1, c2} \]安排女生同理。
P4295 [SCOI2003]嚴格N元樹
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高精度板子
還是 \(dp\)，設 \(f_i\) 表示深度不超過 \(i\) 的嚴格 \(n\) 元樹的個數。
轉移的過程相當於再增加一個根，且新建的根節點需要 \(n\) 個子樹。
那麼轉移方程就是：\(f_i = f_{i - 1}\, ^ n + 1\) （+1 就是隻有自己）
簡單吧，但是要用高精度（
P2607 [ZJOI2008]騎士
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基環樹上 \(dp\) 板子。
（但是為什麼全機房除了我其他人都做過啊啊啊，果然還是我太菜了 \(QwQ\)）
這道題給出的騎士之間的厭惡關係會形成基環樹（森林），那麼我們要在上面跑 \(dp\)。
以下按一棵基環樹來討論。
我們先找到環，然後選擇上面的一個點為根，跑樹形 \(dp\)，然後再換成與它相鄰的一個點為根跑一遍樹形 \(dp\)，取個最大值就是答案了（樹形 \(dp\) 最下面再說）。
我們再來考慮基環樹森林，其實是一樣的。
主函式裡列舉一遍所有的點，如果還沒遍歷過，就重複一次上述操作。
那麼樹形 \(dp\) 怎麼跑？類似於 沒有上司的舞會。
我們設 \(f_{x,0/1}\) 表示以 \(x\) 為根（\(x\) 選 或 不選）的子樹中最大戰鬥力。
轉移方程：
\[f_{x, 0} += max(f_{y, 0}, f_{y, 1}) \]\[f_{x, 1} += f_{y, 0} \]P4035 [JSOI2008]球形空間產生器
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Solution
高斯消元板子
不過還是要稍稍推一下式子的。
關於 \(n\) 維空間裡兩個點之間的距離題目下方的說明/提示裡有。
這道題給我們的都是表面上的點，言外之意，到球心距離相等。
假設我們要求的球心座標：\((x_1, x_2, x_3……x_n)\)
那麼有：\(\sum\limits_{i = 1}^{n}{\sum\limits_{j = 1}^n(a_{i,j} - x_j)^2 = C}\)
但是這是個二次方程，還有個常數怎麼辦啊？
上下一減就完了，減的過程就不寫了（懶得打字了），建議自己手推一下。
下面是化簡完的式子：
\[\sum\limits_{j = 1}^n2(a_{i,j} - a_{i + 1, j})x_j = \sum\limits_{j = 1}^n(a_{i, j}^2 - a_{i + 1, j}^2) \]看著不清新？換元一下：
\[k_j = 2(a_{i, j} - a_{i + 1, j}) \]\[y_j = \sum\limits_{j = 1}^n(a_{i, j}^2 - a_{i + 1, j}^2) \]\[\sum\limits_{j = 1}^n(k_j \times x_j) = y_j \]對這個式子建個增廣矩陣，跑個高斯消元就完了。
P2146 [NOI2015] 軟體包管理器
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樹鏈剖分板子題，不多說了。
P2375 [NOI2014] 動物園
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\(kmp\) 好題。但是講一次忘一次
大概就是不能暴力調 \(next\) 陣列，會被卡。
所以我們不用重置前一次跳到的座標，每次往後跳一格，判斷一下即可。
P4133 [BJOI2012]最多的方案
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記憶化搜尋不解釋。
記錄一個斐波那契數列的字首和，每次跟當前搜尋到的要分解的數\(x\) 比一下。
如果 \(x > sum_{i - 1}\) ，當前位就必須選了，否則的話選或不選兩種情況都搜一遍。
P1640 [SCOI2010]連續攻擊遊戲
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二分圖匹配好題。
觀察到每個物品只能用一次，即每次只用使用一個屬性值。
那麼我們把武器和屬性值連邊，從 1 開始列舉並跑匈牙利演算法。
如果無法匹配直接break（題意要求），然後輸出答案即可。
P1403 [AHOI2005]約數研究
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不能理解為什麼是橙題……我怕不是連橙題都不會了……
通過打表發現，一段數的約數個數是一樣的，每次讓 \(i\) 等於 \(\frac{i}{n/i} + 1\) 中間的數整體算即可。
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