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CF1592E Bored Bakry

CF1592E Bored Bakry

題目

給定一個 \(n\) 個數的陣列,要求找一個連續子區間,滿足該子區間的區間 \(\&\)\(>\) 區間異或和。求該子區間的最大長度。

思路

一開始還在想什麼資料結構,二分什麼的,然後發現\(\&\)有單調性而異或完全沒有.

然後翻題解.

題解的意思是第\(k\)位,再列舉區間,使得區間\(\&\)起來後第\(k\)位為\(1\),異或起來後第\(k\)位為\(0\),為了保證區間\(\&\)更大,我們又要強制讓區間異或起來後比\(k\)更高的位置為\(0\).

我們處理一個字首陣列\(pre_i=(a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus \ldots \oplus a_i)>>(k+1)\)

,則\(pre_r\oplus pre_{l-1}=(a_l\oplus a_{l+1}\oplus \ldots\oplus a_{r-1}\oplus a_r)>> (k+1)\).

我們需要找的一個區間\([l,r]\),使得該區間滿足以下三個條件:

  1. \(r-l+1\),即區間長度為偶數,這就能保證異或後第\(k\)位為0.
  2. 區間內所有數第\(k\)為全為\(1\).
  3. \(pre_r\oplus pre_{l-1}=0\).

但是,其實要我說,第一個條件可以被第三個條件包含,只要將\(pre\)陣列改為前\(i\)個數,大於等於第\(k\)位的異或和即可.

兩個數異或和為\(0\)

即兩個數相等,區間第\(k\)位為\(1\)可以用雙指標找.

程式碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <unordered_map>
using namespace std;
int read() {
	int re = 0;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9')c = getchar();
	while(c >= '0' && c <= '9') re = (re << 1) + (re << 3) + c - '0' , c = getchar();
	return re;
}
const int N = 1e6 + 10;
int n , k;
int a[N];
int ans = 0;

int pos[1 << 20];//pos[i]表示異或和為i的第一個位置為pos[i],目前沒有則為-1
int main() {
	n = read();
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
		a[i] = read();
	memset(pos , -1 , sizeof(pos));
	for(int k = 19 ; k >= 0 ; k--) {
		int l = 0 , r = 0;
		while(l <= n) {
			l = r + 1;
			while(l <= n && ((a[l] >> k) & 1) == 0)++l;
			r = l;
			while(r <= n && ((a[r] >> k) & 1) == 1)++r;
			--r;
			if(l > n)continue;//l,r:[l,r]內所有數的第k為均為1
			
			int sum = 0;//字首
			pos[sum] = l - 1;
			for(int i = l ; i <= r ; i++) {
				sum ^= (a[i] >> k);
				if(pos[sum] == -1)
					pos[sum] = i;
				else
					ans = max(ans , i - pos[sum]);
			}
			sum = 0 , pos[sum] = -1;//清空
			for(int i = l ; i <= r ; i++)
				sum ^= (a[i] >> k) , pos[sum] = -1;
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}