【全程NOIP計劃】數學推導選講
【全程NOIP計劃】數學推導選講
常見不等式
柯西不等式
對於數列a和b,有以下恆成立
\[\sum_{i=1}^na_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2 \ge (\sum_{i=1}^na_ib_i)^2 \]令
\(A=\sum a_i^2,B=\sum a_ib_i,C=\sum b_i^2\)
構造以下式子
\[f(x)=Ax^2+2Bx+c=\sum(a_ix+b_i)^2 \ge 0 \\ a_i^2x^2+2a_ib_ix+b_i^2\ge 0 \]\(\triangle\le 0\)，然後就得證了
例子：
有\(x_1,x_2,\dots,x_{4n}\ge 0\)，\(x_{i-1}+x_i+x_{i+1} \le 1(x_0=x_{4n},x_{4n+1}=x_1)\)
求：\(\sum_{i=1}^{4n}(x_{i-1}*x_{i+1})\)
這個系列實際上可以是\(0,\dfrac 12 ,0 ,\dfrac 12,\dots \dots\)
實際上我們可以直接把第二個小於號看成等於號
\[x_0 x_2+x_1x_3\le (1-x_1-x_2)x_2+x_1(1-x_1-x_2) \\=(x_1+x_2)[1-(x_1+x_2)] \]然後換元法，二次函式求最大值
又一個例子:
有\(x_1,x_2,\dots,x_n\in Z_+\)，\(\forall i,x_i \not=10,\sum_{i=1}^nx_i=10n\)
求\((\prod_{i=1}^nx_i)^{\frac 1n}\)
9 11 9 11 9 11……這樣迴圈下去就可以了
\((\prod x_i)^{\frac 1n}\le \dfrac {\sum x_i} n=10\)
實際上就是均值不等式
再一個例子：
設\(f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^{n-i}\)，\(f(x)\)有\(n\)個實數根，\(\forall i,a_i \ge 0\)
求\(f(m)\)的最大值
這是一個n-1元函式
n個根
設這n個根為\(-x_1,-x_2,-x_3,-x_4,-x_5,-x_6,\dots,-x_n\)
然後
\[f(m)=(m+x_1)(m+x_2)(m+x_3)\dots \dots (m+x_n) \]\(m+x_i=m*1+x_i \ge (m+1) \sqrt[m+1]{m*1+x_i}\)
還有：
設n次多項式\(f(x)\)滿足\(f(k)=\dfrac 1k (k=1,2,\dots ,n+1)\)
求：\(f(n+2)\)
從上一題吸取一點經驗
設\(g(x)=x*f(x)-1\)
\(k=1,2,3,\dots ,n+1\)
\(g(k)=k*f(k)-1=0\)
\(g(x)=(x-1)(x-2)\dots(x-n-1)\)
所以\((-1)^{n+1}！*C=-1\)
\(C=\dfrac {(-1)^n} {(n+1)!}\)
\(g(x)=\dfrac {(-1)^n}{(n+1)!}*(x-1)(x-2)\dots(x-n-1)\)
然後\((n+2)*f(n+2)-1=g(n+2)=(-1)^n\)
則\(f(n+2)=\dfrac {(-1)^n+1} {n+2}\)
二階線性遞推數列的特徵方程
\(a_{n+2}=c_1a_{n+1}+c_2a_n\)這一個遞推式的特徵方程為：
\[x^2=c_1x+c_2 \]如果這個方程的兩個解為：\(x_1,x_2\)
則\(a_n\)的通項公式為:\(a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n\)
比如斐波那契數列的特徵方程就可以求
\(f_{n+2}=f_{n+1}+f_n\)
例子：
已知數列a滿足：
\(a_1=-4,a_2=-7,a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\)
求\(a_n\)的通項公式
實際上用剛才的特徵方程就好了
又一個例子:
求\(\lfloor(\dfrac {5+\sqrt{21}} {2})^n \rfloor\)的個位數字
發現上面的其實是\(x^2-5x+1=0\)的兩個解
然後\(x^2=5x-1\)
\(a_{n+2}=5a_{n+1}-a_n\)
\(a_n=C_1(\dfrac {5+\sqrt{21}} {2})^n+C_2(\dfrac {5-\sqrt{21}} {2})^n\)
\(a_n=(\dfrac {5+\sqrt{21}} {2})^n+(\dfrac {5-\sqrt{21}} {2})^n\)
所以\(a_0=2,a_1=5\)
然後用
\(a_{n+2}=5a_{n+1}-a_n\)，在加的時候不斷模10算出來它的迴圈節就可以了
還有一個例子：
求所有的數對\((p,n)\),滿足\(p^n\)=\(n^p\),\(p\)是質數，\(n\)是正整數
假設\(n=p^x\),所以\(p^n=p^{xp}=np\)
\(p^n=p^{p^x}\)
\(p^{xp}=p^{p^x}\)
所以\(xp=p^x \to x=p^{x-1}\)
但是我們觀察到$n=p \space or \space n=2,p=4 $（或者相反）就可以了
更多的例子：
n是一個偶數，給定一個n*n的矩陣B，\(B_{i,j}=(i+j) \space mod \space n\)
選出儘量多個格子，使得其中任意兩個格子不在同一行，不在同一列，格子中的元素不同
給出方案
還有：
\(M(a)\)表示使\((a+b)|ab\)為的正整數的b的個數
求\(M(a)\)
設\(\dfrac {ab} {a+b}=c\)
然後\(ab=ac+bc\)
\(ab-ac-bc=0\)
\(ab-ac-bc+a^2=a^2\)
\((a-c)(a+b)=a^2\)
所以我們就結束了
\(ans=\dfrac {d_0(a^2)-1}2\),\(d_0(x)\)為x約數的個數
如何求\(a^2\)的約數個數
\(d_0(12)=(2+1)*(1+1)=6\)
然後\(d_0(12^2)=(4+1)*(2+1)=15\)
然而還有：
一次考試有m道題目，有n個同學參加
如果某道題目正好有x個同學沒有答對，那麼答對的所有同學得x分
求第一名的分數和最後一名分數之和的最大值
可以很容易看出最大值為m*(n-1)
平面上有2n個點，沒有三點共線，任意兩點之間連線段
將其中\(n^2+1\)條邊染成紅色，剩下的邊染成藍色
求同色的三角形最多有多少個？
矩陣的相關概念
若矩陣A，向量x，數\(\lambda\)滿足：
\(Ax=\lambda x\)則稱$\lambda \(為\)A\(的特徵值，\)x\(為\)\lambda\(相對應的\)A$的特徵向量
求解方法：
\((A-\lambda I)x=0\)先求解\(|A-\lambda I|=0\)再求解方程
如果\(AB=I\),則A,B互為對方的逆，記為\(B^{-1},A^{-1}\)
求解方法：通過矩陣變換將\([A|I]\)消成\([I|B]\)，則\(B=A^{-1}\)
矩陣的對角化：（三角矩陣\(O(n^3)\)）的矩陣快速冪
\(A=P^{-1}DP\)，其中\(D\)為對角矩陣
(D中元素為A的特徵值，P為相對應的特徵的向量矩陣)
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