模板題 ：P6242

題意 ： 寫一棵線段樹， 支援區間加，區間對 \(x\) 取 \(\min\)， 區間和， 區間最大值， 區間歷史最大值。

直接暴力維護是 \(O(n^2)\) 的， 考慮如何優化。

考慮對於線段樹的每一個節點， 維護最大值 \(mx\), 最大值個數 \(cnt\)， 嚴格次大值 \(sec\)。

在區間對 \(x\) 取 \(\min\) 時，

• 若 \(mx \leq x\)， 則不會修改任何值， 直接退出.
• 若 \(x < mx\)， 且 \(sec \geq x\)， 則所有的 \(mx\) 變成 \(x\)， 區間和加上 \(cnt \times (x - mx)\)
  ， 退出.
• 否則遞迴左右子樹.

複雜度分析 ： 摘自 靈夢 的 blog :

這樣做的複雜度可以證明是 \(O(m\log n)\) 的。原論文的證明使用了勢能分析，這裡給出一種更好懂的 \(O((n+m)\log n)\) 下界的證明：

顯然只有暴力 DFS 的過程會影響複雜度，我們考慮一次區間最值操作中哪些節點會被搜尋到。發現到達的節點區間中不同的數的個數（下稱「值域」）一定會減少（因為至少將最大值與次大值合併了）。線段樹每層節點表示的區間的值域一共是 \(O(n)\) 的，一共 \(\log\) 層加起來就是 \(O(n\log n)\)。再加上每次操作的複雜度，可以得到複雜度的一個下界為 \(O((n+m)\log n)\)

。

對於此題， 因為還有區間加操作， 但是我們對 \(x\) 取 \(\min\) 時只能修改最大值的值， 相當於把維護的元素分成了 最大值 與 非最大值， 用兩個懶標記記錄即可 （程式碼中是 \(add_a\) 與 \(add_{a1}\)）。

再加上歷史最大值， 我們定義 \(add_b\) 為當前區間最大值歷史上加的最多的那次的標記。
同理 \(add_{b1}\) 為當前區間非最大值歷史上加的最多的那次的標記。

一個簡單的例子是這個區間先 \(+3\)， 再 \(-2\)， 那麼 \(add_b\) 就應該是 \(3\)。

結合程式碼實際講一下 （由於 cnblogs 插入程式碼很鬼畜， 大家諒解一下）：

struct tre {
        int maxa, maxb, sec, sum, cnt, len; 
	int add_a, add_a1, add_b, add_b1; //最大值tag 非最大值tag 最大值歷史tag 非最大值歷史tag 
} tre[M << 2];

\(pushup\) 的時候， 對於最大值在左邊或右邊或兩邊都是分類討論一下 ：

inline void push_up(int p) {
	tre[p].maxa = std :: max(tre[p << 1].maxa, tre[p << 1 | 1].maxa);
	tre[p].maxb = std :: max(tre[p << 1].maxb, tre[p << 1 | 1].maxb); 
        tre[p].sum = tre[p << 1].sum + tre[p << 1 | 1].sum; 
        if(tre[p << 1].maxa == tre[p << 1 | 1].maxa) {
    	tre[p].sec = std :: max(tre[p << 1].sec, tre[p << 1 | 1].sec); 
    	tre[p].cnt = tre[p << 1].cnt + tre[p << 1 | 1].cnt; 
	}
	else if(tre[p << 1].maxa < tre[p << 1 | 1].maxa) {
		tre[p].sec = std :: max(tre[p << 1].maxa, tre[p << 1 | 1].sec); 
		tre[p].cnt = tre[p << 1 | 1].cnt; 
	}
	else {
		tre[p].sec = std :: max(tre[p << 1].sec, tre[p << 1 | 1].maxa); 
		tre[p].cnt = tre[p << 1].cnt; 
	}
}

比較難理解的是下傳標記時的對答案的更改操作 ：

inline void upd(int p, int v1, int v2, int v3, int v4) { //最大值 + tag, 最大值歷史 + tag, 非最大值 + tag, 非最大值歷史 + tag
        tre[p].sum += v1 * tre[p].cnt + v3 * (tre[p].len - tre[p].cnt); 
	tre[p].maxb = std :: max(tre[p].maxb, tre[p].maxa + v2); 
	tre[p].add_b = std :: max(tre[p].add_b, tre[p].add_a + v2); 
	tre[p].add_b1 = std :: max(tre[p].add_b1, tre[p].add_a1 + v4); 
	tre[p].maxa += v1, tre[p].add_a += v1, tre[p].add_a1 += v3; 
	if(tre[p].sec != -INF) tre[p].sec += v3;  
}

最後是幾個操作， 相信大家打過板子都會， 程式碼就不給了。