四、傅立葉變換與頻率分析

週期訊號的傅立葉級數

1.訊號的正交分解

完備正交集：(1)三角函式級\({1, cos(n\Omega t),sin(n\Omega t),n=1,2,...}\)，

​ (2)虛指數函式集\({e^{jn\Omega t},n=0,\pm1,\pm2,...}\)

任意訊號f(t)可以表示為無窮多個正交函式之和：

\[f(t)=C_{1} \varphi_{1}(t)+C_{2} \varphi_{2}(t)+\cdots+C_{i} \varphi_{i}(t)+\cdots=\sum_{i=1}^{\infty} C_{i} \varphi_{i}(t) \]

上式稱為訊號的正交展開式，也稱為廣義傅立葉級數。

2.帕斯瓦爾定理

帕斯瓦爾方程：\(\int_{t_{1}}^{t_{2}} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\sum_{i=1}^{\infty} \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[C_{i} \varphi_{i}(t)\right]^{2} \mathrm{~d} t\)

訊號的能量 = 各正交分量的能量，即能量守恆定理

3.三角形式的傅立葉級數

設週期訊號\(f(t)\)，其週期為T，角頻率\(\Omega = 2 \pi/T\)，當滿足狄裡赫利條件時，可展開為三角形式的傅立葉級數。

\(f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos (n \Omega t)+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin (n \Omega t)\)

直流分量+n次餘弦分量+n次正弦分量

狄裡赫利條件：在一個週期內，①函式連續或只有有限個第一類間斷點，②函式極大值和極小值的數目應為有限個，③函式絕對可積

餘弦形式的傅立葉級數：\(f(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \cos \left(n \Omega t+\varphi_{n}\right)\)
\(\left\{\begin{array}{l}A_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} \\ \varphi_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_n}\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}a_{n}=A_{n} \cos \varphi_{n} \\ b_{n}=-A_{n} \sin \varphi_{n}\end{array}\right.\right.\)

直流分量+基波（一次諧波）+二次諧波+……n次諧波

吉布斯線性：用有限項傅立葉級數表示有間斷點的訊號時，在間斷點附近不可避免的會出現振盪和超調量。當選取的項數很大時，該超調量趨於一個常數，大約等於總跳變值的9%，並從間斷點開始以起伏振盪的形式逐漸衰減下去。

4.週期訊號波形對稱性和諧波特性

①\(f(t)\)為偶函式，\(b_n\)=0，展開為餘弦級數

②\(f(t)\)為奇函式，\(a_n\)=0，展開為正弦級數

③\(f(t)\)為奇諧函式\(f(t)=-f(t\pm T/2)\)，傅立葉級數只含奇次諧波\(a_0=a_2=...=b_2=b_4=0\)

④\(f(t)\)為偶諧函式\(f(t)=f(t\pm T/2)\)，傅立葉級數只含偶次諧波\(a_1=a_3=...=b_1=b_3=0\)

週期訊號的頻譜

1.指數形式的傅立葉級數

\(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathrm{e}^{j n \Omega t}\)

傅立葉係數：\(F_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{e}^{-j n \Omega t} \mathrm{~d} t\)

表明：任意週期訊號\(f(t)\)可分解為許多不同頻率的虛指數訊號之和。\(F_n\)是頻率為\(n\Omega\)的分類的係數。\(F_0 = A_0/2\)為直流分量。

與三角形式的傅立葉係數的關係：\(F_{n}=\left|F_{n}\right| e^{j \varphi_{n}}=\frac{1}{2} A_{n} e^{j \varphi_{n}}=\frac{1}{2}\left(a_{n}-j b_{n}\right)\)

2.週期訊號的頻譜

頻譜：週期訊號分解後，各分量的幅度和相位對於頻率的變化，分為幅度譜和相位譜

3.單邊譜和雙邊譜的關係

\(\cos n \Omega t=\frac{1}{2}\left(e^{j \mu \Omega t}+e^{-j n \Omega t}\right)\)
\(F_{n}=\left|F_{n}\right| e^{j \varphi_{n}}=\frac{1}{2} A_{n} e^{j \varphi_{n}}\)
\(\left|F_{n}\right|=\frac{1}{2} A_{n} \quad \varphi_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}\)

\(|F_n|\)是n的偶函式，雙邊幅度譜的譜線高度為 單邊幅度譜的一半，且關於縱軸對稱；而直流分量值不變。\(\varphi_n\)是n的奇函式，雙邊相位譜可以由單邊相位譜直接關於零點奇對稱。

4.週期訊號頻譜的特點

①離散型，以基頻\(\Omega\)為間隔的若干離散譜線組成

②諧波性：譜線僅含有基頻\(\Omega\)的整數倍分量

③收斂性：整體趨勢減小

週期矩形脈衝：

週期訊號頻譜的特點

1.週期訊號的功率

週期訊號一般是功率訊號，平均功率為：

\(\begin{aligned} P &=\frac{1}{T} \int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{7}{2}} f^{2}(t) d t=\frac{1}{T} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\left[\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \cos \left(n \Omega t+\varphi_{n}\right)\right]^{2} d t \\ &=\left(\frac{A_{0}}{2}\right)^{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} A_{n}^{2}=\left|F_{0}\right|^{2}+2 \sum_{n=1}^{\infty}\left|F_{n}\right|^{2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|F_{n}\right|^{2} \end{aligned}\)

這是帕斯瓦爾定理在傅立葉級數情況下的具體實現，週期訊號平均功率=直流和諧波分量平均功率之和，對於週期訊號，在時域中求得的訊號功率與在頻域中求得的訊號功率相同。

頻頻寬度：在滿足一定失真條件下，訊號可以用某段頻率範圍的訊號來表示，此頻率範圍稱為頻頻寬度。①一般把第一個零點作為訊號的頻頻寬度②對於一般週期訊號，將幅度下降為\(\frac{1}{10}|F_n|_{max}\)的頻率區間定義為頻頻寬度。③系統的通頻帶>訊號的頻寬，才能不失真。

2.非週期訊號的頻譜

當\(T \to \infty\)時，週期訊號→非週期訊號；

\(F_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{e}^{-j n \Omega t} \mathrm{~d} t\) → 0；

譜線間隔\(\Omega\) →0

離散頻譜→連續頻譜

雖然各頻率分量的幅度趨近於無窮小，但無窮小量之間仍有相對大小差別，故引入頻譜密度函式。

頻譜密度函式 \(T \to \infty\)時 \(\Omega \to d \omega ,\ \ n\Omega \to \omega\)

\(\begin{aligned} F(j \omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{F_{n}}{1 / T} &=\lim _{T \rightarrow \infty} F_{n} T \text { （單位頻譜上的頻譜） }\\ &=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{e}^{-j n \Omega t} \mathrm{~d} t \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{~d} t \end{aligned}\)

稱為頻譜密度函式，簡稱頻譜密度或頻譜

3.傅立葉變換

\(F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t\)

\(F(j\omega)\)稱為\(f(t)\)的傅立葉變換，\(F(j\omega)\)一般是複函式，寫為\(F(j\omega) = |F(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}\)

\(|F(j\omega)|\sim \omega\)幅度頻譜，頻率\(\omega\)的偶函式，\(\varphi(\omega)\sim \omega\)相位頻譜，頻率\(\omega\)的奇函式

傅立葉反變換：\(f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega\)

\(\begin{aligned} &F(j \omega)=\mathscr{F}[f(t)] \\ &f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(j \omega)] \end{aligned}\) 或 \(f(t) \leftrightarrow F(j \omega)\)

傅立葉變換的充要條件：（所有能量訊號都滿足此條件）

\(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)| \mathrm{d} t<\infty\)

傅立葉變換及性質

1.常用函式的傅立葉變換

2.線性

若 \(f_{1}(t) \leftrightarrow F_{1}(j \omega), \quad f_{2}(t) \leftrightarrow F_{2}(j \omega)\)

則\(a f_{1}(t)+b f_{2}(t) \leftrightarrow a F_{1}(j \omega)+b F_{2}(j \omega)\)

3.奇偶性

若 \(f(t) \leftrightarrow F(j \omega)\) 則 \(f(-t) \leftrightarrow F(-j \omega)\)

4.對稱性

若 \(f(t) \leftrightarrow F(j \omega)\) 則 \(F(j t) \leftrightarrow 2 \pi f(-\omega)\)

5.尺度變換特性

若 \(f(t) \leftrightarrow F(j \omega)\) 則 \(f(a t) \leftrightarrow \frac{1}{|a|} F\left(j \frac{\omega}{a}\right)\)，a為非零實數

訊號的持續時間與訊號佔有頻帶成反比

6.時移特性

若 \(f(t) \leftrightarrow F(j \omega)\) 則 \(f\left(t \pm t_{0}\right) \leftrightarrow e^{\pm j \omega_{0}} F(j \omega), t_{0}\) 為實常數。

若 \(F(j \omega)=|F(j \omega)| e^{j \varphi(\omega)}\) 則 \(f\left(t \pm t_{0}\right) \leftrightarrow|F(j \omega)| \cdot e^{j\left[\varphi(\omega) \pm \omega t_{0}\right]}\)

7.頻移特性

若 \(f(t) \leftrightarrow F(j \omega)\) 則 \(e^{\mp j \omega_0 t} f(t) \leftrightarrow F\left[j\left(\omega \pm \omega_{0}\right)\right]\)，\(w_0\)為實常數，注意\(\pm\)號

實質是頻譜搬移

8.卷積定理

時域卷積定理：若 \(f_{1}(t) \leftrightarrow F_{1}(j \omega), \quad f_{2}(t) \leftrightarrow F_{2}(j \omega)\) 則 \(f_{1}(t) * f_{2}(t) \leftarrow F_{1}(j \omega) F_{2}(j \omega)\)

頻域卷積定理：若 \(f_{1}(t) \leftrightarrow F_{1}(j \omega), \quad f_{2}(t) \leftrightarrow F_{2}(j \omega)\) 則 \(f_{1}(t) f_{2}(t) \leftarrow \rightarrow \frac{1}{2 \pi} F_{1}(j \omega)^{*} F_{2}(j \omega)\)

9.時域微積分特性

若\(f(t)\leftrightarrow F(j \omega)\)

時域微分：\(f^{(n)}(t) \leftarrow \rightarrow(j \omega)^{n} F(j \omega)\)

時域積分：\(\int_{-\infty}^{t} f(x) \mathrm{d} x \leftarrow \rightarrow F(0) \delta(\omega)+\frac{F(j \omega)}{j \omega}\) 其中\(F(0)=\left.F(j \omega)\right|_{\omega=0}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{d} t\)

10.頻域微積分特性

若\(f(t)\leftrightarrow F(j \omega)\)

頻域微分：\((-jt)^nf(t) \leftarrow \rightarrow F^{(n)}(j \omega)\)

頻域積分：\(\pi f(0) \delta(t)+\frac{f(t)}{-j t} \leftarrow \rightarrow \int_{-\infty}^{\omega} F(j x) \mathrm{d} x\) 其中\(f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) \mathrm{d} \omega\)

11.相關定理

若 \(f_{1}(t) \leftrightarrow F_{1}(j \omega), \quad f_{2}(t) \leftrightarrow F_{2}(j \omega)\)
則 F \(\left[R_{12}(\tau)\right] \leftrightarrow F_{1}(j \omega) F_{2}^{*}(j \omega), \mathrm{F}\left[R_{21}(\tau)\right] \leftrightarrow F_{1}^{*}(j \omega) F_{2}(j \omega)\)

週期訊號的傅立葉變換

1.能量譜

能量訊號，能量有限訊號：\(E =\lim_{T\to \infty} \int^T_{-T}|f(t)|^2 dt\)

能量方程：\(E=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^{T}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(j \omega)|^{2} \mathrm{~d} \omega\)

能量密度譜\(E(\omega)\)：單位頻率的訊號能量，簡稱為能量頻譜或能量譜

能量有限訊號的能量譜\(E(\omega)\)與自相關函式\(R(\tau)\)是一對傅立葉變換

\(R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t-\tau) \mathrm{d} t\) \(E(\omega) = |F(j\omega)|^2\)

2.功率譜

功率訊號，訊號功率有限：\(P \stackrel{d e f}{=} \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t\)

若訊號能量E有限，則P=0；若訊號功率P有限，則\(E=\infty\)

功率密度譜：單位頻率的訊號功率：\(\mathrm{P}(\omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\left|F_{T}(j \omega)\right|^{2}}{T}\)

維納辛欽關係：功率有限訊號的功率譜\(P(\omega)\)與自相關函式\(R(\tau)\)是一對傅立葉變換

\(R(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{T} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) f(t-\tau) \mathrm{d} t\right]\) \(P(\omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\left|F_{T}(j \omega)\right|^{2}}{T}\)

3.白噪聲功率譜密度的估計

白噪聲是指功率譜密度在整個頻域內均勻分佈的隨機噪聲

\(P_N(\omega)=N\) 功率密度譜是常數。

4.週期訊號的傅立葉變換

週期訊號→傅立葉級數，離散譜

非週期訊號→傅立葉變換，連續譜

週期訊號\(f_T(t)\)的頻譜由衝激序列組成

\[f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathrm{e}^{j n \Omega t} \leftrightarrow F_{T}(j \omega)=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta(\omega-n \Omega) \]

\(F_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j n \Omega t} d t\)

LTI系統的頻域分析

1.基本訊號\(e^{jwt}\)作用於LTI系統的響應

本章的響應指零狀態響應

\(y(t)=H(j \omega) \cdot \mathrm{e}^{j \omega t} = h(t)*e^{jwt}\)

2.一般訊號\(f(t)\)作用於LTI系統的響應

\(Y(j\omega)=F(j\omega)H(j\omega)\)

3.傅立葉變換分析法

4.傅立葉級數分析法

三角形式傅立葉級數表示：

5.頻率響應函式

\(H(j\omega)\)：系統零狀態響應\(y(t)\)的傅立葉變換\(Y(j\omega)\)與激勵\(f(t)\)的傅立葉變換\(F(j\omega)\)之比。即：\(H(j \omega)=\frac{Y(j \omega)}{F(j \omega)}\)， \(H(j \omega)=|H(j \omega)| e^{j \theta(\omega)}=\frac{|Y(j \omega)|}{|F(j \omega)|} e^{j\left[\varphi_{y}(\omega)-\varphi_{f}(\omega)\right]}\)

\(|H(j\omega)|\)稱為幅頻特性，是\(\omega\)的偶函式

\(\theta(\omega)\)稱為相頻特性，是\(\omega\)的奇函式

求法：(1) \(\mathrm{H}(\mathrm{j} \omega)=\mathrm{F}[h(\mathrm{t})]\)
(2) \(\mathbf{H}(\mathbf{j} \omega)=\mathbf{Y}(\mathbf{j} \omega) / \mathbf{F}(\mathbf{j} \omega)\)

無失真傳輸和理想低通濾波器

1.無失真傳輸

系統對於訊號的作用大體可分為兩類，一類是訊號的傳輸，一類是濾波。

訊號無失真傳輸是指系統的輸出訊號與輸入訊號相比，只有幅度的大小和出現時間的先後不同，而沒有波形上的變化。

\(f(t)\)經過無失真傳輸後，輸出訊號\(y(t)=K f\left(t-t_{d}\right)\)，頻譜\(Y(j \omega)=K e^{-j \omega t_{d}} F(j \omega)\)

無失真傳輸的條件：(1) 對 \(h(t)\) 的要求:

\[h(t)=K \delta\left(t-t_{\mathrm{d}}\right) \]

(2)對 \(\mathrm{H}(\mathrm{j} \omega)\) 的要求:

\[\mathbf{H}(\mathbf{j} \omega)=\mathbf{Y}(\mathbf{j} \omega) / \mathbf{F}(\mathbf{j} \omega)=\mathbf{K e}^{-\mathrm{j} \omega t_{\mathrm{d}}} \]

2.理想低通濾波器

\(H(j \omega)=\left\{\begin{array}{cl}\mathrm{e}^{-j \omega t_{d}}, & |\omega|<\omega_{C} \\ 0, & |\omega|>\omega_{C}\end{array}=g_{2 \omega_{C}}(\omega) \mathrm{e}^{-j \omega t_{d}}\right.\)

\(|H(j \omega)|= \begin{cases}1, & |\omega|<\omega_{c} \\ 0, & |\omega|>\omega_{c}\end{cases}\)
\(\varphi(\omega)=-j \omega t_{d}\)

衝激響應：\(\begin{aligned} h(t) &=\mathrm{F}^{-1}\left[g_{2 \omega_{c}}(\omega) e^{-j \omega t_{d}}\right] \\ &=\frac{\omega_{c}}{\pi} \mathrm{Sa}\left[\omega_{c}\left(t-t_{d}\right)\right] \end{aligned}\)

是物理不可實現的，是非因果濾波器

3.物理可實現系統的條件

時域特性：因果條件 \(h(t)=0,t<0\)

頻域特性：佩利-維納準則（必要條件）：

\[\int_{-\infty}|H(j \omega)|^{2} d \omega<\infty \]

平方可積條件
並且 \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\ln | H(\mathrm{j} \omega) \|}{1+\omega^{2}} \mathrm{~d} \omega<\infty\)

取樣定理

1.訊號的取樣

\(f_s(t) = f(t)s(t)\)，取樣間隔\(T_s\)，取樣頻率\(f_s = 1/T_s\)

取樣訊號頻譜\(F_s(j\omega)=\frac{1}{2\pi}F(j\omega)*S(j\omega)\)

矩形脈衝取樣：

脈衝取樣

\(\omega_{\mathrm{s}} \geqslant 2 \omega_{\mathrm{m}}\)，此時頻譜不發生混疊，可以利用低通濾波器從\(F_s(j\omega)\)中提取\(F_(j\omega)\)。

2.取樣定理（時域）

一個頻譜在區間\((-\omega_m,\omega_m)\)以外為0的頻寬訊號\(f(t)\)，可唯一地由其在均勻間隔\(T_s[T_s<1/(2f_m)]\)上的樣值點\(f(nT_s)\)確定。

最低允許的取樣頻率（奈奎斯特頻率）\(f_s=2f_m\)

3.取樣定理（頻域）

一個在時域區間\((-t_m,t_m)\)以外為0的時限訊號\(f(t)\)的頻譜函式\(F(j\omega)\)，可唯一地由其在均勻頻譜間隔\(f_s[f_s<1/(2f_m)]\)上的樣點值\(F(jn\omega_s)\)確定。

\(F(j \omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F\left(j \frac{n \pi}{t_{m}}\right) \operatorname{Sa}\left(\omega t_{m}-n \pi\right), \quad t_{m}=\frac{1}{2 f_{s}}\)

離散傅立葉變換

1.傅立葉變換中連續到離散的演化

DTFT離散時間傅立葉變換：\(X(j \omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}\)

缺點：時域序列的長度仍然是無限長，訊號在頻域仍然是連續的。

DFT離散傅立葉變換：\(X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} n k}\)

DFS離散傅立葉級數：\(\tilde{X}(j k \Omega)=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) e^{-j k \Omega n}\)

2.五種傅立葉變換的比較

3.離散傅立葉變換定義（DFT）

定義：對於一個長度為N的離散訊號\(x[n],n=0,...,N-1\)，其離散傅立葉變換(DFT)為：\(X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_{N}^{n k}, \quad k=0, ..., N-1\)

其中：\(W_{N}=e^{-j \frac{2 \pi}{N}}\)

離散傅立葉反變換：若\(X[k],k=0,...,N-1\)為長度為N的離散傅立葉變換系數序列，則稱：\(x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] W_{N}^{-n k}, \quad n=0, ..., N-1\)

為\(X{k}\)的離散傅立葉反變換

物理意義：離散傅立葉變換是將一個有限訊號\(x[n]\)表示成了N個離散正弦分量的加和，每個正弦分量的振幅和初始相位由係數\(X[k]\)給出。