訊號與系統（8）- 復指數形式的傅立葉級數
滿足Direchlet條件的週期訊號或特定時間區間的訊號可以被傅立葉級數在功率上沒有誤差的表達，常見的傅立葉級數的形式有兩種，即：
f
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
[
a
n
c
o
s
(
n
Ω
t
)
+
b
n
s
i
n
(
n
Ω
t
)
]
a
n
=
2
t
2
−
t
1
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
c
o
s
(
n
Ω
t
)
d
t
b
n
=
2
t
2
−
t
1
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
s
i
n
(
n
Ω
t
)
d
t
\begin{aligned} f(t) &= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[a_ncos(n\Omega t)+b_nsin(n\Omega t)] \\a_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt \\b_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)sin(n\Omega t)dt \end{aligned}
或
f
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
c
o
s
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
A
n
=
a
n
2
+
b
n
2
,
φ
n
=
−
a
r
c
t
a
n
b
n
a
n
\begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) \\A_n &= \sqrt{a_n^2+b_n^2}, \\\varphi_n &= -arctan\frac{b_n}{a_n} \end{aligned}
這兩種表達方式在物理上很容易理解，即訊號可以被分解為一個直流分量，和一系列交流分量的疊加。除了這兩種表達方式，傅立葉級數的復指數形式也是最常見的表達形式，這種形式在計算上具有很大的優勢。
1. 如何獲得傅立葉級數的複數形式？
和之前討論的訊號分解累，如果存在一組正交函式集，則訊號可以通過正交函式集中的子訊號的疊加進行表示。子訊號的係數稱為相關係數。相關內容可以回顧訊號與系統（6）- 訊號頻域研究的思路及正交函式集。正弦函式集是一套正交函式集，除此之外，復指數函式也是正交函式集，即：
或記為：
{ e j n Ω t ∣ n ∈ I } \{ e^{jn\Omega t }\space|n \in I \} {ejnΩt∣n∈I}
則訊號 f ( t ) f(t) f(t)通過復指數正交函式集展開為：
f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ C n ⋅ e j ( n Ω t ) ] f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}] f(t)=n=−∞∑+∞[Cn⋅ej(nΩt)]
注意求和上下限為從負無窮到正無窮，這意味著復指數形式的傅立葉變換會出現“負頻率”。至於為什麼出現負頻率將在之後解答。
由之前正交函式集的知識可知，上式中係數
C
n
C_n
Cn為：
C
n
=
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
⋅
(
e
j
n
Ω
t
)
∗
∫
t
1
t
2
(
e
j
n
Ω
t
)
(
e
j
n
Ω
t
)
∗
=
1
T
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
e
j
n
Ω
t
d
t
C_n=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (e^{j{n\Omega t}})^*}{\int_{t_1}^{t_2}(e^{j{n\Omega t}})(e^{j{n\Omega t}})^*} = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{jn\Omega t}dt
Cn=∫t1t2(ejnΩt)(ejnΩt)∗∫t1t2f(t)⋅(ejnΩt)∗=T1∫t1t2f(t)ejnΩtdt
上式即為傅立葉級數的複數形式，其中
Ω
=
2
π
T
\Omega = \frac{2\pi}{T}
Ω=T2π，且
f
(
t
)
f(t)
f(t)是週期為T的函式，故n取不同值時的週期訊號具有諧波關係（即它們都具有一個共同週期T）。n=0時對應的這一項稱為直流分量，n=1時具有基波頻率，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。
同之前講述的實數範圍內的傅立葉級數展開一樣，復指數形式的傅立葉級數展開同樣具有另一種表達方式。已知傅立葉級數為：
f
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
c
o
s
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n)
f(t)=2a0+n=1∑+∞Ancos(nΩt+φn)
由尤拉公式：
c
o
s
ω
t
=
e
j
ω
t
+
e
−
j
ω
t
2
cos\omega t = \frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}
cosωt=2ejωt+e−jωt
則：
f
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
c
o
s
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
+
e
−
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
2
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
+
e
j
[
−
(
n
)
Ω
t
+
(
−
φ
n
)
]
2
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
2
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
+
∑
n
=
−
1
−
∞
A
n
2
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
\begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\frac{e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+e^{-j(n\Omega t + \varphi_n)}}{2} \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\frac{e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+e^{j[-(n)\Omega t + (-\varphi_n)]}}{2} \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+\sum_{n=-1}^{-\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)} \end{aligned}
f(t)=2a0+n=1∑+∞Ancos(nΩt+φn)=2a0+n=1∑+∞An2ej(nΩt+φn)+e−j(nΩt+φn)=2a0+n=1∑+∞An2ej(nΩt+φn)+ej[−(n)Ωt+(−φn)]=2a0+n=1∑+∞2Anej(nΩt+φn)+n=−1∑−∞2Anej(nΩt+φn)
回顧傅立葉級數的第二種形式
f
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
c
o
s
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
A
n
=
a
n
2
+
b
n
2
,
φ
n
=
−
a
r
c
t
a
n
b
n
a
n
\begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) \\A_n &= \sqrt{a_n^2+b_n^2}, \\\varphi_n &= -arctan\frac{b_n}{a_n} \end{aligned}
f(t)Anφn=2a0+n=1∑+∞Ancos(nΩt+φn)=an2+bn2
,=−arctananbn
若
f
(
t
)
f(t)
f(t)是實數訊號，則
A
n
A_n
An是
n
n
n的偶函式，而
φ
n
\varphi_n
φn是
n
n
n的奇函式。如果將求和的範圍從
[
1
,
+
∞
]
[1,+\infty]
[1,+∞]擴充套件到
[
−
1
,
−
∞
]
[-1,-\infty]
[−1,−∞]，則有
φ
−
n
=
−
φ
n
\varphi_{-n}=-\varphi_{n}
φ−n=−φn以及
A
−
n
=
A
n
A_{-n}=A_n
A−n=An，此時
n
∈
[
−
1
,
−
∞
]
n \in[-1,-\infty]
n∈[−1,−∞]，因此有：
f
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
c
o
s
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
+
e
−
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
2
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
+
e
j
[
−
(
n
)
Ω
t
+
(
−
φ
n
)
]
2
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
2
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
+
∑
n
=
−
1
−
∞
A
n
2
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
\begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\frac{e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+e^{-j(n\Omega t + \varphi_n)}}{2} \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\frac{e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+e^{j[-(n)\Omega t + (-\varphi_n)]}}{2} \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+\sum_{n=-1}^{-\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)} \end{aligned}
f(t)=2a0+n=1∑+∞Ancos(nΩt+φn)=2a0+n=1∑+∞An2ej(nΩt+φn)+e−j(nΩt+φn)=2a0+n=1∑+∞An2ej(nΩt+φn)+ej[−(n)Ωt+(−φn)]=2a0+n=1∑+∞2Anej(nΩt+φn)+n=−1∑−∞2Anej(nΩt+φn)
若
n
=
0
n=0
n=0時
φ
n
\varphi_n
φn記為
φ
0
=
0
\varphi_0 = 0
φ0=0，
A
n
A_n
An記為
A
0
=
a
0
A_0=a_0
A0=a0，則上式可以統一化表示為：
f
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
A
n
2
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
+
∑
n
=
−
1
−
∞
A
n
2
e
j
(
n
Ω
t
+
φ
n
)
=
1
2
∑
n
=
−
∞
+
∞
A
n
e
j
φ
n
⋅
e
j
n
Ω
t
=
1
2
∑
n
=
−
∞
+
∞
A
˙
n
⋅
e
j
n
Ω
t
\begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+\sum_{n=-1}^{-\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)} \\&=\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_ne^{j\varphi_n}\cdot e^{jn\Omega t} \\&=\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\dot A_n\cdot e^{jn\Omega t} \end{aligned}
f(t)=2a0+n=1∑+∞2Anej(nΩt+φn)+n=−1∑−∞2Anej(nΩt+φn)=21n=−∞∑+∞Anejφn⋅ejnΩt=21n=−∞∑+∞A˙n⋅ejnΩt
上式即傅立葉級數複數形式的第二種表達方式，其中
A
˙
n
=
A
n
e
j
φ
n
=
a
n
2
+
b
n
2
(
c
o
s
φ
n
+
j
s
i
n
φ
n
)
φ
n
=
−
a
r
c
t
a
n
(
b
n
a
n
)
\begin{aligned} &\dot A_n = A_ne^{j\varphi_n} = \sqrt{a_n^2+b_n^2}(cos \varphi_n + j sin\varphi_n) \\&\varphi_n=-arctan(\frac{b_n}{a_n}) \end{aligned}
A˙n=Anejφn=an2+bn2
(cosφn+jsinφn)φn=−arctan(anbn)
通過三角函式運算可知：
若
φ
n
=
−
a
r
c
t
a
n
(
b
n
a
n
)
則
c
o
s
(
φ
n
)
=
a
n
a
n
2
+
b
n
2
,
s
i
n
(
φ
n
)
=
−
b
n
a
n
2
+
b
n
2
\begin{aligned} &若\space \varphi_n=-arctan(\frac{b_n}{a_n}) \\&則\space cos(\varphi_n)=\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}, \space sin(\varphi_n)=-\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \end{aligned}
若φn=−arctan(anbn)則cos(φn)=an2+bn2
an,sin(φn)=−an2+bn2
bn
所以
A
˙
n
\dot A_n
A˙n也可以表示為：
A
˙
n
=
a
n
−
j
b
n
=
2
T
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
c
o
s
(
n
Ω
t
)
d
t
−
j
=
2
T
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
s
i
n
(
n
Ω
t
)
d
t
=
2
T
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
[
c
o
s
(
n
Ω
t
)
−
j
s
i
n
(
n
Ω
t
)
]
由
e
j
ω
t
=
c
o
s
ω
t
+
j
s
i
n
ω
t
,
e
−
j
ω
t
=
c
o
s
ω
t
−
j
s
i
n
ω
t
可
知
=
2
T
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
e
−
j
Ω
t
d
t
\begin{aligned} \dot A_n &= a_n - jb_n \\&=\frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt-j=\frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)sin(n\Omega t)dt \\&=\frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)[cos(n\Omega t)-jsin(n\Omega t)] \\由e^{j\omega t}&=cos\omega t+jsin\omega t,e^{-j\omega t}=cos\omega t-jsin\omega t可知 \\&=\frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-j\Omega t}dt \end{aligned}
A˙n由ejωt=an−jbn=T2∫t1t2f(t)cos(nΩt)dt−j=T2∫t1t2f(t)sin(nΩt)dt=T2∫t1t2f(t)[cos(nΩt)−jsin(nΩt)]=cosωt+jsinωt,e−jωt=cosωt−jsinωt可知=T2∫t1t2f(t)e−jΩtdt
對比第一種傅立葉級數複數形式和第二種傅立葉級數複數形式可知：
C
n
=
A
˙
n
2
=
A
n
e
j
φ
n
2
=
a
n
−
j
b
n
2
C_n = \frac{\dot A_n}{2}=\frac{ A_ne^{j\varphi_n}}{2}=\frac{a_n - jb_n}{2}
Cn=2A˙n=2Anejφn=2an−jbn
問題：負頻率的出現有什麼意義？
傅立葉級數的實數形式在物理上很好理解，但是計算相對繁瑣。而復指數形式的傅立葉級數因為引入了指數運算，因此在計算上會相對容易，但是負頻率的出現會讓人難以理解其物理意義。觀察尤拉關係或復指數的定義：
e
j
ω
t
=
c
o
s
ω
t
+
j
s
i
n
ω
t
,
或
c
o
s
ω
t
=
e
j
ω
t
+
e
−
j
ω
t
2
e^{j\omega t} = cos\omega t +jsin\omega t,\space 或\space cos\omega t = \frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}
ejωt=cosωt+jsinωt,或cosωt=2ejωt+e−jωt
可知，正數頻率的復指數訊號
e
j
ω
t
e^{j\omega t}
ejωt和負數頻率的復指數訊號
e
−
j
ω
t
e^{-j\omega t}
e−jωt，這兩者共同構成了實數訊號
c
o
s
ω
t
cos\omega t
cosωt。因此可以粗略的理解為，負頻率的出現，是為了實現通過復指數訊號構成一個實數訊號的目的。
2. 四種傅立葉級數的形式對比
實數形式的傅立葉變換和複數形式的傅立葉變換本質上是一回事，但是表現的形式不同。他們之間存在很密切的聯絡，其對比如下：
| 傅立葉級數形式 | 係數或引數 |
|---|---|
| f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n c o s ( n Ω t ) + b n s i n ( n Ω t ) ] f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[a_ncos(n\Omega t)+b_nsin(n\Omega t)] f(t)=2a0+∑n=1+∞[ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)] | a n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) c o s ( n Ω t ) d t b n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) s i n ( n Ω t ) d t a_n=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt\\b_n=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)sin(n\Omega t)dt an=t2−t12∫t1t2f(t)cos(nΩt)dtbn=t2−t12∫t1t2f(t)sin(nΩt)dt |
| f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n c o s ( n Ω t + φ n ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) f(t)=2a0+∑n=1+∞Ancos(nΩt+φn) | A n = a n 2 + b n 2 , φ n = − a r c t a n b n a n A_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2},\\\varphi_n = -arctan\frac{b_n}{a_n} An=an2+bn2 ,φn=−arctananbn |
| f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ C n ⋅ e j ( n Ω t ) ] f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}] f(t)=∑n=−∞+∞[Cn⋅ej(nΩt)] | C n = ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ ( e j n Ω t ) ∗ ∫ t 1 t 2 ( e j n Ω t ) ( e j n Ω t ) ∗ = 1 T ∫ t 1 t 2 f ( t ) e j n Ω t d t = A ˙ n 2 = A n e j φ n 2 = a n − j b n 2 C_n=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (e^{j{n\Omega t}})^*}{\int_{t_1}^{t_2}(e^{j{n\Omega t}})(e^{j{n\Omega t}})^*} = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{jn\Omega t}dt\\=\frac{\dot A_n}{2}=\frac{ A_ne^{j\varphi_n}}{2}=\frac{a_n - jb_n}{2} Cn=∫t1t2(ejnΩt)(ejnΩt)∗∫t1t2f(t)⋅(ejnΩt)∗=T1∫t1t2f(t)ejnΩtdt=2A˙n=2Anejφn=2an−jbn |
| f ( t ) = 1 2 ∑ n = − ∞ + ∞ A ˙ n ⋅ e j n Ω t f(t)=\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\dot A_n\cdot e^{jn\Omega t} f(t)=21∑n=−∞+∞A˙n⋅ejnΩt | A ˙ n = A n e j φ n = a n 2 + b n 2 ( c o s φ n + j s i n φ n ) = a n − j b n = 2 T ∫ t 1 t 2 f ( t ) e − j Ω t d t \dot A_n = A_ne^{j\varphi_n} = \sqrt{a_n^2+b_n^2}(cos \varphi_n + j sin\varphi_n)\\= a_n - jb_n \\=\frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-j\Omega t}dt A˙n=Anejφn=an2+bn2 (cosφn+jsinφn)=an−jbn=T2∫t1t2f(t)e−jΩtdt |
不論哪種傅立葉級數的形式，可以看出，任何週期性的，或某特定時間區間的，滿足Direchlet條件的訊號都可以分解為直流分量和不同交流分量的得加。傅立葉級數的本質同樣是使用子訊號對複雜訊號的表示這與之前時域分析中的思路是完全一致的。
當獲得系統對子訊號的響應，最後將子訊號的響應進行疊加，即可求得系統對原訊號的響應。
3. 復指數訊號長什麼樣子？
{ e j n Ω t ∣ n ∈ I } \{ e^{jn\Omega t }\space|n \in I \} {ejnΩt∣n∈I}表示一種復正弦訊號，有關這個訊號的影象可以通過MATLAB或SCILAB進行繪製，如下：
可以看出，復指數函式是一個螺旋線，在實數軸上是餘弦曲線，在虛數軸上是正弦曲線。復指數訊號中的n可以為正數也可以為負數，此時頻率 n Ω n\Omega nΩ便出現了小於零的負頻率。這在物理上沒有意義，但是數學上會簡化運算。有關這個函式的性質以及虛數的意義，將在之後必要的時候進行討論。
4. 函式奇偶性和傅立葉級數的關係
函式的奇偶性對傅立葉級數具有一定的影響，有時候會簡化對傅立葉級數的計算
- 如果函式是偶函式，則其傅立葉級數中只有直流和餘弦分量，即：偶函式之和仍是偶函式
- 如果函式是奇函式，則其傅立葉級數中只有正弦分量，即：奇函式之和仍是奇函式
- 符合 f ( t + T 2 ) = − f ( t ) f(t+\frac{T}{2})=-f(t) f(t+2T)=−f(t)的函式稱為奇諧函式，其傅立葉級數中僅由奇次諧波分量
- 符合 f ( t + T 2 ) = f ( t ) f(t+\frac{T}{2})=f(t) f(t+2T)=f(t)的函式稱為偶諧函式，其傅立葉級數中僅由偶次諧波分量
事實上，任何訊號均可以分解成為一個奇函式和一個偶函式的和，並且訊號的平移可以改變訊號的奇偶性，如下所示：
f
(
t
)
=
f
e
(
t
)
+
f
o
(
t
)
=
f
(
t
)
+
f
(
−
t
)
2
+
f
(
t
)
−
f
(
−
t
)
2
f(t)=f_e(t)+f_o(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}+\frac{f(t)-f(-t)}{2}
f(t)=fe(t)+fo(t)=2f(t)+f(−t)+2f(t)−f(−t)
因此，若已知訊號燈的奇偶性，則計算傅立葉係數時，僅需計算部分系數即可。
至此，傅立葉級數相關的內容完成，下一部分將闡述傅立葉級數的頻譜特點。
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