【說句閒話】什麼是 TREE 函式？
零、前言
中國國內對於 \(\operatorname{TREE}\) 函式這個數的資料確實有點少，我所看過的大部分文章、視訊說的都是關於 \(\operatorname{TREE}\) 函式的大小。
比如 \(\operatorname{TREE}(3)\) 和葛立恆數的大小比較（雖然確實，葛立恆數在 \(\operatorname{TREE}(3)\) 面前就是個渣渣）。
但極少地提到 \(\operatorname{TREE}\) 函式到底是個什麼東西。當然我這裡也就只是說明一下 \(\operatorname{TREE}\) 函式到底是個啥，剩下的那些證明...我看不懂。
說實話，\(\operatorname{TREE}\)
參考資料：
在此表示感謝。
一、\(\operatorname{TREE}\) 函式
1. 定義
\(\operatorname{TREE}\) 是一個函式，有一個自變數 \(x\)。提出者 Harvey Friedman。
\(\operatorname{TREE}\) 函式來源於一個連續畫樹的遊戲。
在這個遊戲中，你可以使用 \(x\) 種不同顏色的筆連續畫樹的節點，而邊的顏色我們不考慮。
當然是有規則的：
- 規則 1：畫的第 \(n\) 棵樹上的節點個數不能超過 \(n\)。
- 規則 2：畫的第 \(n\) 棵樹，前 \(n - 1\) 棵樹不能“包含”在第 \(n\) 棵樹裡。
而 \(\operatorname{TREE}\) 函式的函式值為通過上述規則所能畫出最多樹的個數。
注意規則 2 的“包含”，數學中有一個名詞，叫“inf-embeddable”（下確界-可嵌入）。
意思就是：
我們設兩棵樹 \(T_1\) 和 \(T_2\)。判斷 \(T_2\) “包含於” \(T_1\)：
- \(T_2\) 是 \(T_1\) 的子圖。
- \(T_2\) 中取若干節點，這若干節點如果可以跟 \(T_1\)的節點建立一一對應關係，而且兩顆樹中，任意對應兩個節點的 最近公共祖先 是同一顏色。
完全滿足上面兩條的我們判斷 \(T_2\) “包含於” \(T_1\)。
2. \(\operatorname{TREE}(1)\) 和 \(\operatorname{TREE}(2)\)
我們先從人畜無害的 \(\operatorname{TREE}(1)\) 和 \(\operatorname{TREE}(2)\) 開始畫樹。
在 \(\operatorname{TREE}(1)\) 中，很明顯我們只能畫出一個根節點。所以 \(\operatorname{TREE}(1) = 1\)。
在 \(\operatorname{TREE}(2)\) 中，我們可以先畫出一個根節點，假設顏色為綠色，然後我們畫第二棵，為兩個紅色的節點連成的樹，然後畫第三個，一個紅色的根節點。我們不能再畫下去了，並且其他方法也不會大於三棵樹，所以 \(\operatorname{TREE}(2) = 3\)。
3. 從 \(\operatorname{TREE}(3)\) 到 \(\operatorname{TREE}(x)\)
可以自己嘗試。畫不下去的時候要保證這是樹的個數最大的方案，如果不是，可以換一種畫法，直到找到最大的那種。
但是我不建議你嘗試。