左偏樹學習筆記
作為可並堆的一種，左偏樹算是又好寫功能全且複雜度比較優的了
首先介紹一下結構：
左偏是指定義的 \(dis\) 值左子樹比右子樹大
\(dis\) 指的是 \(min(son_0,son_1)+1\)，葉節點為零
注意這裡的 \(dis\) 並不是深度，左偏樹的深度是沒有保證的，哪怕是一條鏈，只要滿足左偏的性質就是符合的
所以要查詢堆頂並不能暴力跳父親，而是要額外開並查集來儲存
能保證複雜度大概是因為只要有右子樹是空的那麼就能插入，那麼 \(dis\) 的定義方式就很科學
那麼接下來是變形操作
由於左偏樹有著二叉樹結構，那麼也是支援懶標記的，一定注意每次刪除堆頂前要先 \(spread\)
當然，理論上也可以可持久化，然而並沒有遇見過這樣的毒瘤題
以下是一些例題：
用於簡單維護集合元素
堆中維護當前活著的騎士集合，由於騎士的死是一次性的且單調，那麼每個點暴力彈出即可
每個城有增益效果，懶標記維護即可
用於優化 dp 轉移
設 \(f[u][i]\) 表示子樹 \(u\) 以 \(i\) 的血量進入能得到的血量
那麼答案直接取 \(f[u][0]\) 即可，可以把 \(t\) 下面掛一個權值為 \(inf\) 的點
發現轉移很浪費時間
那麼不妨把 \(f\) 轉化成多個二元組 \((x,y)\)，表示以 \(x\) 的血量進入最多增加的血量 \(y\)
過程變成了用當前血量對應從小到大取二元組直到不滿足
那麼每個點的二元組用堆來維護
那麼每個點首先要把子樹的堆合併起來
考慮加入 \(a_u\)
如果 \(a_u\) 大於零，那麼直接增加 \((0,a_u)\)
否則考慮進行合併：首先以 \(-a_u\) 作為初始血量來進入這個點，\(a_u\) 為初始的增加量
那麼從小到大來取子樹中的二元組來進行合併，直到不能合併為止
發現如果增加量為負一定不優，那麼這時候需要繼續拿，那麼相應的血量應該變為 \(x-y'\)，指先消耗 \(y'\) 還能進行拿取操作，直到增加為正為止
對於每個點的堆中存放所有覆蓋了子樹中所有邊以及父親邊的方案，每次取出合法的堆頂即是最小值，設為 \(f_x\)
對於一個節點合併子樹時，設 \(sum\) 為 \(\sum f_{son}\)
同時對於每個堆頂排除不合法的方案
P4331 [BalticOI 2004]Sequence 數字序列
提供兩種方法：
首先假設為簡化版：\(b\) 的限制條件是小於等於
觀察發現，對於一段遞增的 \(a\)，那麼 \(b\) 是對應的最優
對於一段遞減的 \(a\)，那麼 \(b\) 是 \(a\) 的中位數時最優
那麼考慮將原數列劃分為許多段遞減的段，每一段都取中位數
發現這樣取完 \(b\) 後可能會出現前一個 \(b\) 比後一個 \(b\) 大的情況
那麼把前一段和後一段的數合併後再求中位數即可
中位數可以用堆求，彈出直到剩下一半
由於有合併操作，用左偏樹維護
這裡提供一個更加精妙的做法：
考慮設計一個 \(dp\)：\(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 個最後一個為 \(j\) 的最小值
轉移有兩個：\(f[i][j]=f[i-1][j]+|a_i-j|\),\(f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1])\)
如果對於每個 \(i\) 把 \(dp\) 陣列看成一個關於 \(j\) 的函式影象
一定是一個下凸函式