一套圖 搞懂“時間複雜度”
原文:
(1條訊息) 一套圖 搞懂“時間複雜度”_12 26 25 的部落格-CSDN部落格_時間複雜度
https://blog.csdn.net/qq_41523096/article/details/82142747
寫在前面:
這篇文章是在公眾號: 程式設計師小灰 中釋出的。是我到目前為止所看到的關於時間複雜度介紹的最好的文章,清晰明瞭。
所以拿來po出來 僅供學習交流,如侵則刪。
現已將此文收錄至:《資料結構》C語言版 (清華嚴蔚敏考研版) 全書知識梳理
正文:
時間複雜度的意義
究竟什麼是時間複雜度呢?讓我們來想象一個場景:某一天,小灰和大黃同時加入了一個公司......
一天過後,小灰和大黃各自交付了程式碼,兩端程式碼實現的功能都差不多。大黃的程式碼執行一次要花100毫秒,記憶體佔用5MB。小灰的程式碼執行一次要花100秒,記憶體佔用500MB。於是......
由此可見,衡量程式碼的好壞,包括兩個非常重要的指標:
1.執行時間;
2.佔用空間。
基本操作執行次數
關於程式碼的基本操作執行次數,我們用四個生活中的場景,來做一下比喻:
場景1:給小灰一條長10寸的麵包,小灰每3天吃掉1寸,那麼吃掉整個麵包需要幾天?
答案自然是 3 X 10 = 30天。
如果麵包的長度是 N 寸呢?
此時吃掉整個麵包,需要 3 X n = 3n 天。
如果用一個函式來表達這個相對時間,可以記作T(n) = 3n。
場景2:給小灰一條長16寸的麵包,小灰每5天吃掉麵包剩餘長度的一半,第一次吃掉8寸,第二次吃掉4寸,第三次吃掉2寸......那麼小灰把麵包吃得只剩下1寸,需要多少天呢?
這個問題翻譯一下,就是數字16不斷地除以2,除幾次以後的結果等於1?這裡要涉及到數學當中的對數,以2位底,16的對數,可以簡寫為log16。
因此,把麵包吃得只剩下1寸,需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。
如果麵包的長度是 N 寸呢?
需要5 X logn = 5logn天,記作T(n) =5logn。
場景3:給小灰一條長10寸的麵包和一個雞腿,小灰每2天吃掉一個雞腿。那麼小灰吃掉整個雞腿需要多少天呢?
答案自然是2天。因為只說是吃掉雞腿,和10寸的麵包沒有關係。
如果麵包的長度是 N 寸呢?
無論麵包有多長,吃掉雞腿的時間仍然是2天,記作T(n) = 2。
場景4:給小灰一條長10寸的麵包,小灰吃掉第一個一寸需要1天時間,吃掉第二個一寸需要2天時間,吃掉第三個一寸需要3天時間.....每多吃一寸,所花的時間也多一天。那麼小灰吃掉整個麵包需要多少天呢?
答案是從1累加到10的總和,也就是55天。
如果麵包的長度是 N 寸呢?
此時吃掉整個麵包,需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。
記作T(n) = 0.5n^2 + 0.5n。
上面所講的是吃東西所花費的相對時間,這一思想同樣適用於對程式基本操作執行次數的統計。剛才的四個場景,分別對應了程式中最常見的四種執行方式:
場景1:T(n) = 3n,執行次數是線性的。
- voideat1(intn){
- for(inti=0;i<n;i++){;
- System.out.println("等待一天");
- System.out.println("等待一天");
- System.out.println("吃一寸麵包");
- }
- }
- vo
場景2:T(n) = 5logn,執行次數是對數的。
- voideat2(intn){
- for(inti=1;i<n;i*=2){
- System.out.println("等待一天");
- System.out.println("等待一天");
- System.out.println("等待一天");
- System.out.println("等待一天");
- System.out.println("吃一半面包");
- }
- }
場景3:T(n) = 2,執行次數是常量的。
- voideat3(intn){
- System.out.println("等待一天");
- System.out.println("吃一個雞腿");
- }
場景4:T(n) = 0.5n^2 + 0.5n,執行次數是一個多項式。
- voideat4(intn){
- for(inti=0;i<n;i++){
- for(intj=0;j<i;j++){
- System.out.println("等待一天");
- }
- System.out.println("吃一寸麵包");
- }
- }
漸進時間複雜度
有了基本操作執行次數的函式 T(n),是否就可以分析和比較一段程式碼的執行時間了呢?還是有一定的困難。
比如演算法A的相對時間是T(n)= 100n,演算法B的相對時間是T(n)= 5n^2,這兩個到底誰的執行時間更長一些?這就要看n的取值了。
所以,這時候有了漸進時間複雜度(asymptotic time complexity)的概念,官方的定義如下:
若存在函式 f(n),使得當n趨近於無窮大時,T(n)/ f(n)的極限值為不等於零的常數,則稱 f(n)是T(n)的同數量級函式。
記作T(n)= O(f(n)),稱O(f(n)) 為演算法的漸進時間複雜度,簡稱時間複雜度。
漸進時間複雜度用大寫O來表示,所以也被稱為大O表示法。
如何推匯出時間複雜度呢?有如下幾個原則:
-
如果執行時間是常數量級,用常數1表示;
-
只保留時間函式中的最高階項;
-
如果最高階項存在,則省去最高階項前面的係數。
讓我們回頭看看剛才的四個場景。
場景1:
T(n) = 3n
最高階項為3n,省去係數3,轉化的時間複雜度為:
T(n) = O(n)
場景2:
T(n) = 5logn
最高階項為5logn,省去係數5,轉化的時間複雜度為:
T(n) = O(logn)
場景3:
T(n) = 2
只有常數量級,轉化的時間複雜度為:
T(n) = O(1)
場景4:
T(n) = 0.5n^2 + 0.5n
最高階項為0.5n^2,省去係數0.5,轉化的時間複雜度為:
T(n) = O(n^2)
這四種時間複雜度究竟誰用時更長,誰節省時間呢?稍微思考一下就可以得出結論:
O(1)<O(logn)<O(n)<O(n^2)
在程式設計的世界中有著各種各樣的演算法,除了上述的四個場景,還有許多不同形式的時間複雜度,比如:
O(nlogn),O(n^3),O(m*n),O(2^n),O(n!)
今後遨遊在程式碼的海洋裡,我們會陸續遇到上述時間複雜度的演算法。
時間複雜度的巨大差異
我們來舉過一個栗子:
演算法A的相對時間規模是T(n)= 100n,時間複雜度是O(n)
演算法B的相對時間規模是T(n)= 5n^2,時間複雜度是O(n^2)
演算法A執行在小灰家裡的老舊電腦上,演算法B執行在某臺超級計算機上,執行速度是老舊電腦的100倍。
那麼,隨著輸入規模 n 的增長,兩種演算法誰執行更快呢?
從表格中可以看出,當n的值很小的時候,演算法A的執行用時要遠大於演算法B;當n的值達到1000左右,演算法A和演算法B的執行時間已經接近;當n的值越來越大,達到十萬、百萬時,演算法A的優勢開始顯現,演算法B則越來越慢,差距越來越明顯。
這就是不同時間複雜度帶來的差距。