二項式反演

如果定義 \(f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} g(i)\)

那麼有 \(g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} f(i)\)

證明：

\[代入 f(i) 則有 \\ g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} \sum\limits_{j=0}^{i} \binom{i}{j} g(j) \\ =\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i}(-1)^{n-i} \binom{n}{i} \binom{i}{j} g(j) \\ =\sum\limits_{j=0}^{n} \sum\limits_{i=j}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n}{i} \binom{i}{j} g(j) \\ =\sum\limits_{j=0}^{n} g(j)\sum\limits_{i=j}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n}{i} \binom{i}{j} \\ 考慮兩個組合數的組合意義：在 n 個數中選 i 個，再在 i 個數中選 j 個 \\ 等價於在 n 個數中選 j 個，再在 n-j 箇中選 i-j 個 \\ =\sum\limits_{j=0}^{n} g(j)\sum\limits_{i=j}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{i-j} \\ =\sum\limits_{j=0}^{n}\binom{n}{j}g(j)\sum\limits_{i=j}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n-j}{i-j} \\ 記 k=i-j\\ =\sum\limits_{j=0}^{n}\binom{n}{j}g(j)\sum\limits_{k=0}^{n-j}(-1)^{n-j-k} \binom{n-j}{k} \\ =\sum\limits_{j=0}^{n}\binom{n}{j}g(j)\sum\limits_{k=0}^{n-j}1^k (-1)^{n-j-k}\binom{n-j}{k} \\ 由二項式定理得 j \neq n 時\sum\limits_{k=0}^{n-j}1^k (-1)^{n-j-k}\binom{n-j}{k}=0 \\ =\binom{n}{n}g(n)1^0 (-1)^0 \binom{0}{0} =g(n) 得證 \]

推廣 1

如果定義 \(f(n)=\sum\limits_{i=m}^{n} \binom{n}{i} g(i)\)

那麼有 \(g(n)=\sum\limits_{i=m}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} f(i)\)

證明：

推廣 2

如果定義 \(f(n)=\sum\limits_{i=n}^{m} \binom{i}{n} g(i)\)

那麼有 \(g(n)=\sum\limits_{i=n}^{m} (-1)^{i-n} \binom{i}{n} f(i)\)

證明：