小知識來啦。

逆元是費馬小定理的一個衍生物（算是吧），主要用於模運算中的除法運算。費馬小定理是說假如有\(p\in P,lca(a,p)=1(P為質數集合)\)，那麼\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。換句話說，\(a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod p\)。於是我們就會發現\(a^{p-2}\pmod p\)就是逆元。

普通狀態下我們可以用 \(O(log p)\)的快速冪求解，但有些時候題目要求線性求解（比如p到達\(10^6\)級別）時，就要用線性求逆元的方法了。

可以推一下公式：

假設inv為逆元函式（關於模數p），那麼會有（逆元的定義）：

\[\frac{a}{b}\equiv a\times inv(b)\pmod p \]\[a\times inv(a)\equiv 1\pmod p \]

設\(t=\lfloor\frac{p}{i}\rfloor,k=p\%i\)

，那麼，

\[t\times i+k\equiv p\equiv 0\pmod p \]\[-t\times i\equiv k\pmod p \]\[-t\times i\times inv(i)\times inv(k)\equiv k\times inv(i)\times inv(k)\pmod p \]\[-t\times inv(k)\equiv inv(i)\pmod p \]

又因為：

\[-t\equiv -p\%i=p-p\%i\pmod p \]

結果就是：

\[inv(i)=(p-p\% i)\times inv(p\%i)\%p \]

於是就可以線性求解了。

一如既往，萬事勝意