Problems

1. [FZOJ5022]慶典

將 \(n\) 個人分為 \(m\) 組，使得每一組的人數都不一樣，求方案數。

\(n,m\le 10^5\)。

2. [SDOI2016]排列計數

求有多少種 \(1\) 到 \(n\) 的排列 \(a\)，滿足序列恰好有 \(m\) 個位置 \(i\)，使得 \(a_i = i\)。

對於 \(60\%\) 的資料，\(n,m,T\le 1000\)。

對於 \(100\%\) 的資料，\(n,m\le 5\times 10^5,T\le 10^6\)。

3. [POJ1737]Connected Graph

給定 \(n\)。求 \(n\) 個有編號的點可以組成多少個不同的聯通圖。

\(n\le 50\)。

4. [CF855C]Helga Hufflepuff's Cup

給你一棵 \(n\) 個點的樹，可以染 \(m\) 種顏色，現在定義一種最高值 \(k\)，一棵樹上最多能有 \(x\) 個最高值，如果一個節點為最高值 \(k\)，那麼他相鄰的節點的值只能選比他小的。求染色方案數。

\(n\le 10^5,k\le m\le 10^9,1\le x\le 10\)。

5. [HNOI2012]排隊

某中學有 \(n\) 名男同學，\(m\) 名女同學和 \(2\) 名老師要排隊參加體檢。他們排成一條直線，並且任意兩名女同學不能相鄰，兩名老師也不能相鄰，那麼一共有多少種排法呢？（注意：任意兩個人都是不同的）

\(n,m\le 2000\)。

Solutions

1. [FZOJ5022]慶典—Solution

鴿。。。

要不先看看 部落格$ QwQ$

2.[SDOI2016]排列計數—Solution

演算法 1

題目：“恰好 \(m\) 個位置” 快試試二項式反演！

至少 \(i\) 個位置相同很好算，直接欽定就可以了。

時間複雜度 \(O(Tn)\)，期望得分 \(60\)。

演算法 2

\(T\le 10^6\)，我們需要預處理。

首先我們可以要欽定 \(m\) 個位置相等，然後剩下 \(n-m\) 個位置不等。

那麼剩下 \(n-m\) 個位置就是一個錯排問題。

預處理 \(D_i\) 表示 \(i\)

時間複雜度 \(O(100)\)，期望得分\(n+T\)。

3.[POJ1737]Connected Graph—Solution

考慮 \(dp\)，但是我們發現並不能很好地表示一種狀態。

但是我們可以容斥：計算總方案數 \(-\) 不連通方案數。不妨設 \(f_i\) 表示 \(i\) 個點能組成不連通圖的個數。

考慮計算 \(f_i\)，有一個很妙的技巧：列舉 \(1\) 號點所在連通塊大小，計為 \(s\)。於是剩下 \(n-s\) 個點不連通，可以隨便連邊，這一部分的方案數為 \(2^{\frac{(n-s)(n-s-1)}{2}}\)。

所以 \(f_i=\sum\limits_{s=1}^{i-1}g_s\cdot\binom{i-1}{s-1}\cdot2^{\frac{(n-s)(n-s-1)}{2}}\) ，其中 \(g_i\) 表示 \(i\) 個點能組成的聯通圖的個數。

啥，你說不會算 \(g\)？

根據我們上面說的容斥思路，顯然有 \(g_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}}-f_i\)。

所以聯立一下，得到

然後 \(O(n^2)\) 遞推就行了。