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給定 \(x,y,K\)。定義兩個數列 \(c,e\)，其中 \(c_i=\begin{cases}x\cdot i&x\cdot i\leqslant K\\-K&\text{otherwise}\end{cases}\)，\(e_i=\begin{cases}y\cdot i&y\cdot i\leqslant K\\-K&\text{otherwise}\end{cases}\)。每次操作從兩個數列中各選取一個數，滿足兩個數之和 \(\geqslant K\)。一個數選取了之後不能再重複取。問你一共能進行多少次操作。

資料範圍：\(t\) 組資料，\(1\leqslant t\leqslant 10^5\)

Solution

不難發現，如果 \(x,y\neq0\)，那麼答案必定是 \(\min\{\left\lfloor\dfrac Kx\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac Ky\right\rfloor\}\)。

證明：

（1） \(y\geqslant x\)，則對於 \((c_n,e_1)\) 這一對數（\(n\) 表示能夠使 \(c_i\geqslant 0\) 成立的最大的 \(i\)），因為 \(c_n+x\geqslant K\)

（2）\(y\leqslant x\)，則對於 \((c_1,e_m)\) 這兩對 （\(m\) 含義類比於上面的 \(n\)），因為 \(e_m+y\geqslant K\)，而 \(x\geqslant y\)，所以必然有 \(c_1+e_m=e_m+x\geqslant K\)。後面的 \((c_2,e_{m-1}),\dots\) 也顯然成立。

證明完之後我們再來看看 \(x,y\) 中至少有一個等於 \(0\)

（1）\(x,y\) 中有且僅有一個等於 \(0\)。則我們需要看是否有 \(\max\{x,y\}\mid K\)，如果有的話，那我們可以拿一個 \(K\) 和 \(0\) 組成一對，這對數的和恰好等於 \(K\)，此時答案為 \(1\)；否則，答案為 \(0\)。

（2）\(x,y\) 都等於 \(0\)，顯然，由於 \(K\geqslant 1\)，且無法選出一對數使得它們的和為正整數，所以答案為 \(0\)。

分類討論完這些情況後，程式碼就不難打了。

Code

int main() {
	MT {
		ll x = Rll, y = Rll, k = Rll;
		if(!x && y && !(k % y)) puts("1");
		else if(!y && x && !(k % x)) puts("1");
		else write(min((!x ? 0 : k / x), (!y ? 0 : k / y))), puts("");
	}
	return 0;
}